1. Um transformador monofásico 220 \mathrm{~V} / 110 \mathrm{~V} está alimentando a carga \mathbf{Z 2}=\mathbf{1 0}+\mathbf{j 3 0}(\Omega). Pede-se:
a) Relação de transformação;

Passo 1

O enunciado pede a “relação de transformação” para o transformador mostrado. Informações dadas (peguei estes dados da figura/enunciado):
  • Tensão do primário (fonte): 220\\ \mathrm{VAC} (valor indicado na figura).
  • Relação nominal do transformador: 220\\ \mathrm{V} / 110\\ \mathrm{V} (indicado na figura).
  • Carga no secundário: Z_2 = 10 + j\,30\\ \Omega (valor do enunciado).
O que exatamente está sendo pedido em (a) é a relação de transformação entre primário e secundário (ou seja, a razão de tensões/espiras) — aqui vou calcular essa razão e mostrar também as relações entre correntes e como a impedância se reflete no primário, porque isso faz parte do entendimento prático da “relação de transformação”.

Passo 2

Definição e fórmula básica de um transformador ideal.
  • Seja N_1 o número de espiras (enrolamento) do primário e N_2 o número de espiras do secundário.
  • Define-se a razão de transformação (razão de espiras) por
a=\frac{N_1}{N_2}.
  • Em um transformador ideal, as tensões eficazes são proporcionais ao número de espiras; portanto vale também
\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}=a.
Nesta fórmula: V_1 é a tensão no primário (lado ligado à fonte) e V_2 é a tensão no secundário (lado da carga).
Vou usar essa relação direta para obter a numericamente.

Passo 3

Cálculo da razão de transformação de tensões.
Usando os valores indicados na figura (peguei V_1=220\\ \mathrm{V} e V_2=110\\ \mathrm{V} da figura):
a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{220}{110}.
Agora calculamos:
a=\frac{220}{110}=2.
Interpretação: a=2 significa que o primário tem o dobro de espiras (ou que a tensão no primário é o dobro da tensão no secundário) para este transformador nominal.

Passo 4

Relação entre correntes (consequência da conservação de potência no transformador ideal).
Para um transformador ideal (sem perdas) a potência aparente é a mesma nos dois lados, ou seja
V_1 I_1 = V_2 I_2,
onde I_1 é a corrente no primário e I_2 a corrente no secundário. Dividindo ambos os lados por V_2 I_2 obtemos
\frac{V_1}{V_2}\cdot\frac{I_1}{I_2}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{I_1}{I_2}=\frac{V_2}{V_1}=\frac{1}{a}.
Com a=2 temos numericamente
\frac{I_1}{I_2}=\frac{1}{2}\quad\text{ou}\quad I_1=\frac{I_2}{2}.
Também pode-se escrever I_2 = a\,I_1, ou seja I_2 = 2\,I_1. Interpretação física: para a mesma potência aparente, a corrente no secundário é o dobro da corrente no primário porque a tensão secundária é a metade.

Passo 5

Reflexão de impedância (importante para ver como a carga no secundário aparece vista do primário).
A impedância equivalente vista no primário ( Z_{\text{eq,1}}) relacionada à impedância do secundário Z_2 é dada por
Z_{\text{eq,1}}=a^{2} Z_2.
Derivação rápida: Z_{\text{eq,1}}=\dfrac{V_1}{I_1}=\dfrac{a V_2}{I_2/a}=a^{2}\dfrac{V_2}{I_2}=a^{2}Z_2.
Com a=2 e Z_2=10+j\,30\\ \Omega:
Z_{\text{eq,1}}=2^{2}\,(10+j\,30)=4(10+j\,30)=40+j\,120\\ \Omega.

Passo 6

Resumo prático (o que se obtém como “relação de transformação”):
  • Razão de transformação de tensões/espiras: a=\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{N_1}{N_2}=2.
  • Relação de correntes: \dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2} (ou I_2=2\,I_1).
  • Impedância refletida no primário: Z_{\text{eq,1}}=a^{2}Z_2=4(10+j\,30)=40+j\,120\\ \Omega.
Força — você já tem a relação! Se quiser eu calculo a corrente secundária para essa carga assumindo V_2=110\\ \mathrm{V} e mostro como obter I_1 e a corrente de curto prazo passo a passo.

Resposta

a=\dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{220}{110}=2
\dfrac{I_1}{I_2}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{2}
Z_{\text{eq,1}}=a^{2}Z_2=4(10+j\,30)=40+j\,120\\ \Omega

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