1. Um transformador monofásico 220 \mathrm{~V} / 110 \mathrm{~V} está alimentando a carga \mathbf{Z 2}=\mathbf{1 0}+\mathbf{j 3 0}(\Omega). Pede-se:
c) Potências consumidas pela carga;

Passo 1

  • O enunciado dá um transformador monofásico 220\\ \text{V} / 110\\ \text{V} e a carga conectada ao secundário com impedância Z_2 = 10 + j30\\ \Omega.
  • O que se pede (item c): as potências consumidas pela carga (ou seja, potência ativa P, potência reativa Q e potência aparente |S| consumidas pela carga).
  • Informação retirada da figura: a tensão no secundário é V_2 = 110\\ \text{V} (valor eficaz, RMS). Essa tensão será usada como a tensão aplicada à carga.

Passo 2

Explicação das grandezas elétricas e fórmula a usar (passo-a-passo didático).
  • Potência complexa (ou potência aparente complexa) é definida por S = P + jQ,onde P é a potência ativa (em watts) e Q é a potência reativa (em volt-ampère reativo, var).
  • Para um circuito com tensão em regime senoidal e números complexos em fasores, a potência complexa consumida por uma impedância Z quando aplicada uma tensão eficaz V é S = V_{\text{rms}}\; I_{\text{rms}}^{*},onde I_{\text{rms}}^{*} é o conjugado complexo da corrente eficaz.
  • Como I = V/Z, uma forma prática é S = \frac{V_{\text{rms}}^{2}}{Z^{*}},onde Z^{*} é o conjugado complexo da impedância. Nesta fórmula:
    • V_{\text{rms}} é a tensão eficaz aplicada à carga (em volts),
    • Z^{*} é o conjugado de Z (trocar o sinal da parte imaginária).
  • Vamos usar \;S=\dfrac{V_2^{2}}{Z_2^{*}}\; porque conduz a contas com números inteiros simples neste caso.

Passo 3

Calcular o conjugado da impedância e preparar a divisão.
  • A impedância dada é Z_2 = 10 + j30.
  • O conjugado é Z_2^{*} = 10 - j30.
  • A tensão eficaz no secundário (retirada da figura) é V_2 = 110\\ \text{V},então V_2^{2} = 110^{2} = 12100\\ \text{V}^2.

Passo 4

Calcular S pela fórmula \;S=\dfrac{V_2^{2}}{Z_2^{*}}\; efetuando a racionalização.
  • Escrevendo a divisão: S = \frac{12100}{10 - j30}.
  • Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador para racionalizar: S = \frac{12100(10 + j30)}{(10 - j30)(10 + j30)}.
  • O denominador dá: (10 - j30)(10 + j30) = 10^{2} + 30^{2} = 100 + 900 = 1000.
  • Então S = \frac{12100(10 + j30)}{1000} = 12{,}1\,(10 + j30).
  • Multiplicando: S = 12{,}1\cdot 10 + j\,12{,}1\cdot 30 = 121 + j363\\ \text{VA}.

Passo 5

Identificar P, Q e |S| a partir de S.
  • A potência ativa é a parte real de S: P = \operatorname{Re}\{S\} = 121\\ \text{W}.
  • A potência reativa é a parte imaginária de S: Q = \operatorname{Im}\{S\} = 363\\ \text{var}.(sinal positivo indica carga indutiva, ou seja, reativa indutiva consumida)
  • A potência aparente é o módulo de S: |S| = \sqrt{P^{2} + Q^{2}} = \sqrt{121^{2} + 363^{2}}.Como 363 = 3\cdot 121, temos |S| = 121\sqrt{1 + 3^{2}} = 121\sqrt{10} \approx 382{,}5\\ \text{VA}.

Passo 6

Comentários finais e verificação rápida (controle de coerência).
  • Fator de potência: \text{pf} = \frac{P}{|S|} = \frac{121}{382{,}5}\approx 0{,}316,que coincide com \cos(71{,}565^{\circ}), onde 71{,}565^{\circ} é o ângulo da impedância \arctan(30/10). O fator de potência é defasado (lagging), típico de carga indutiva.
  • Valores são coerentes: corrente eficaz na carga seria aproximadamente I_2=|S|/V_2\approx 382{,}5/110\approx 3{,}478\\ \text{A}, o que confere com I_2=110/|Z_2|.

Resposta

P = 121\\ \text{W}
Q = 363\\ \text{var}
|S| = 382{,}5\\ \text{VA}

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