1. Um transformador monofásico 220 \mathrm{~V} / 110 \mathrm{~V} está alimentando a carga \mathbf{Z 2}=\mathbf{1 0}+\mathbf{j 3 0}(\Omega). Pede-se:
d) Corrente de primário;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei alguns desses dados da imagem):
  • Transformador monofásico com enrolamentos nominalmente 220\\ \text{V} / 110\\ \text{V}.
  • Fonte ligada ao primário: V_1=220\\ \text{VAC}.
  • Carga ligada ao secundário: Z_2 = 10 + j\,30\\ \Omega.
  • A pergunta pedida aqui é: calcular a corrente do primário I_1.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Razão de transformação (razão de espiras) em um transformador ideal: a \equiv \frac{N_1}{N_2} = \frac{V_1}{V_2},onde N_1,N_2 são o número de espiras do primário e do secundário, e V_1,V_2 são as tensões RMS nos terminais do primário e do secundário respectivamente.
  • Relação entre correntes (no transformador ideal, sem perdas): \frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{a},ou seja I_1 = \frac{1}{a}\,I_2.Aqui I_2 é a corrente do secundário e I_1 a do primário (ambas em forma complexa, já que a carga é complexa).
  • Alternativamente, pode-se refletir a impedância do secundário para o primário: Z_{\text{eq}} = a^2 Z_2,e então I_1 = \frac{V_1}{Z_{\text{eq}}}.
Explicação rápida do porquê: a tensão e corrente se relacionam com o número de espiras; transformar a impedância do secundário para o primário facilita usar a lei de Ohm simples no primário.

Passo 3

Calcular a razão de transformação a usando as tensões dadas (peguei V_1=220\\ \text{V} e V_2=110\\ \text{V} da etiqueta do transformador):
a=\frac{V_1}{V_2}=\frac{220}{110}=2.
Portanto a=2. Isso significa que o primário tem o dobro de tensão do secundário e que as correntes no primário serão metade das correntes do secundário (em módulo), com o mesmo ângulo de fase.

Passo 4

Calcular a corrente do secundário I_2 a partir de V_2 e Z_2. A divisão de número real pela impedância complexa faz-se multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador (racionalização). Começando:
I_2=\frac{V_2}{Z_2}=\frac{110}{10 + j\,30}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 10 - j\,30:
I_2=\frac{110(10 - j\,30)}{(10 + j\,30)(10 - j\,30)} =\frac{110(10 - j\,30)}{10^2 + 30^2}.
Calcule o denominador:
10^2+30^2=100+900=1000.
Então
I_2=\frac{110}{1000}(10 - j\,30)=0,11(10 - j\,30).
Multiplicando:
I_2 = 1,1 - j\,3,3\\ \text{A}.
Podemos também dar a forma fasorial (magnitude e ângulo). A magnitude é
|I_2|=\sqrt{1,1^2 + (-3,3)^2}=\sqrt{1,21 + 10,89}=\sqrt{12,1}\approx3,478\\ \text{A},
e o ângulo (fase) é
\angle I_2=\arctan\!\left(\frac{-3,3}{1,1}\right)=\arctan(-3)\approx-71,565^\circ.
Logo
I_2 \approx 3,478\angle -71,565^\circ\\ \text{A}.

Passo 5

Calcular I_1 usando a relação de correntes I_1=\dfrac{1}{a}I_2. Como a=2,
I_1=\frac{1}{2}I_2=\frac{1}{2}(1,1 - j\,3,3)=0,55 - j\,1,65\\ \text{A}.
Comentário de verificação (método alternativo): refletindo Z_2 para o primário temos
Z_{\text{eq}}=a^2 Z_2=4(10 + j\,30)=40 + j\,120\\ \Omega.
Então
I_1=\frac{V_1}{Z_{\text{eq}}}=\frac{220}{40 + j\,120}.
Racionalizando como antes:
I_1=\frac{220(40 - j\,120)}{40^2 + 120^2}=\frac{220(40 - j\,120)}{1600 + 14400}=\frac{220(40 - j\,120)}{16000}.
I_1=0,01375(40 - j\,120)=0,55 - j\,1,65\\ \text{A},
mesmo resultado — bom sinal.

Passo 6

Determinar magnitude e fase de I_1. A magnitude:
|I_1|=\sqrt{0,55^2 + (-1,65)^2}=\sqrt{0,3025 + 2,7225}=\sqrt{3,025}=1,739\\ \text{A}.
A fase é a mesma de I_2 (porque multiplicar por real positivo 1/2 não altera ângulo):
\angle I_1 \approx -71,565^\circ.
Arredondando, pode-se apresentar I_1 como 1,74\angle -71,57^\circ\\ \text{A}.

Resposta

I_1 = 0,55 - j\,1,65\\ \text{A}
|I_1| \approx 1,739\\ \text{A},\\ \angle I_1 \approx -71,565^\circ

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