Transforme para binário os seguintes números.
\quad 31,03307_{10})

Passo 1

O enunciado pede: transformar para base binária o número 31,03307_{10}.
Informações dadas:
  • O número decimal é 31,03307_{10}.
  • Quer-se a representação em base 2 (binária).

Passo 2

Vamos separar o problema em duas partes (isso é padrão e facilita muito):
  • converter a parte inteira 31 para binário;
  • converter a parte fracionária 0,03307 para binário.
Explicação rápida do porquê dessa separação: a representação binária de um número com parte inteira e fracionária é da forma
(\text{parte inteira})_{10} \longrightarrow (\text{bits à esquerda da vírgula})_2, \qquad (\text{parte fracionária})_{10} \longrightarrow (\text{bits à direita da vírgula})_2.àíáàí

Passo 3

Como converter a parte inteira (método e exemplo): dividir sucessivamente por 2 e anotar os restos. A representação binária da parte inteira é os restos lidos de baixo para cima (último resto é o bit mais significativo).
Aplicando a 31:
\begin{array}{l} 31 \div 2 = 15\\ \text{quociente},\\ \text{resto }1\\\\ 15 \div 2 = 7,\\ \text{resto }1\\\\ 7 \div 2 = 3,\\ \text{resto }1\\\\ 3 \div 2 = 1,\\ \text{resto }1\\\\ 1 \div 2 = 0,\\ \text{resto }1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima obtemos 11111. Logo a parte inteira 31_{10} em binário é 11111_2.

Passo 4

Como converter a parte fracionária (método e ideia): multiplicar a parte fracionária por 2. Em cada multiplicação, a parte inteira do resultado ( 0 ou 1) é o próximo bit da expansão binária; a nova parte fracionária é a parte decimal do produto. Repetir até obter fracção zero (termina) ou até obter a precisão desejada (muitos casos repetem infinitamente).
No nosso caso a parte fracionária é
f_0 = 0,03307 = \frac{3307}{100000}.
Usar a forma racional \dfrac{3307}{100000} permite fazer as multiplicações sem perda: em cada passo multiplicamos o numerador por 2 e verificamos se ficou maior ou igual ao denominador 100000.

Passo 5

Vamos executar as multiplicações por 2 passo a passo (cada linha é um passo: multiplicar por 2, verificar se >= 100000, tomar bit e atualizar o numerador). Faço até obter boa precisão (aqui vou mostrar os primeiros 25 bits da parte fracionária — suficiente para a maioria das provas; se precisar de mais, o mesmo procedimento continua).
\begin{array}{ll} \text{Passo }1: & n_1 = 3307\cdot 2 = 6614 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_1=0,\\ n \leftarrow 6614\\[4pt] \text{Passo }2: & n_2 = 6614\cdot 2 = 13228 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_2=0,\\ n \leftarrow 13228\\[4pt] \text{Passo }3: & n_3 = 13228\cdot 2 = 26456 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_3=0,\\ n \leftarrow 26456\\[4pt] \text{Passo }4: & n_4 = 26456\cdot 2 = 52912 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_4=0,\\ n \leftarrow 52912\\[4pt] \text{Passo }5: & n_5 = 52912\cdot 2 = 105824 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_5=1,\\ n \leftarrow 105824-100000=5824\\[4pt] \text{Passo }6: & n_6 = 5824\cdot 2 = 11648 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_6=0,\\ n \leftarrow 11648\\[4pt] \text{Passo }7: & n_7 = 11648\cdot 2 = 23296 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_7=0,\\ n \leftarrow 23296\\[4pt] \text{Passo }8: & n_8 = 23296\cdot 2 = 46592 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_8=0,\\ n \leftarrow 46592\\[4pt] \text{Passo }9: & n_9 = 46592\cdot 2 = 93184 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_9=0,\\ n \leftarrow 93184\\[4pt] \text{Passo }10: & n_{10} = 93184\cdot 2 = 186368 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_{10}=1,\\ n \leftarrow 186368-100000=86368\\[4pt] \text{Passo }11: & n_{11} = 86368\cdot 2 = 172736 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_{11}=1,\\ n \leftarrow 72736\\[4pt] \text{Passo }12: & n_{12} = 72736\cdot 2 = 145472 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_{12}=1,\\ n \leftarrow 45472\\[4pt] \text{Passo }13: & n_{13} = 45472\cdot 2 = 90944 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_{13}=0,\\ n \leftarrow 90944\\[4pt] \text{Passo }14: & n_{14} = 90944\cdot 2 = 181888 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_{14}=1,\\ n \leftarrow 81888\\[4pt] \text{Passo }15: & n_{15} = 81888\cdot 2 = 163776 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_{15}=1,\\ n \leftarrow 63776\\[4pt] \text{Passo }16: & n_{16} = 63776\cdot 2 = 127552 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_{16}=1,\\ n \leftarrow 27552\\[4pt] \text{Passo }17: & n_{17} = 27552\cdot 2 = 55104 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_{17}=0,\\ n \leftarrow 55104\\[4pt] \text{Passo }18: & n_{18} = 55104\cdot 2 = 110208 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_{18}=1,\\ n \leftarrow 10208\\[4pt] \text{Passo }19: & n_{19} = 10208\cdot 2 = 20416 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_{19}=0,\\ n \leftarrow 20416\\[4pt] \text{Passo }20: & n_{20} = 20416\cdot 2 = 40832 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_{20}=0,\\ n \leftarrow 40832\\[4pt] \text{Passo }21: & n_{21} = 40832\cdot 2 = 81664 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_{21}=0,\\ n \leftarrow 81664\\[4pt] \text{Passo }22: & n_{22} = 81664\cdot 2 = 163328 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_{22}=1,\\ n \leftarrow 63328\\[4pt] \text{Passo }23: & n_{23} = 63328\cdot 2 = 126656 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_{23}=1,\\ n \leftarrow 26656\\[4pt] \text{Passo }24: & n_{24} = 26656\cdot 2 = 53312 < 100000 \Rightarrow \text{bit}_{24}=0,\\ n \leftarrow 53312\\[4pt] \text{Passo }25: & n_{25} = 53312\cdot 2 = 106624 \ge 100000 \Rightarrow \text{bit}_{25}=1,\\ n \leftarrow 6624 \end{array}]

Passo 6

Juntando os bits obtidos para a parte fracionária: os primeiros 25 bits após a vírgula são
\text{fracionário}_2 = 0,0000100001110111010001101\ldots_2.á
(Escrevendo sem a vírgula inicial: os bits são \,0000100001110111010001101\ldots.)
Obs.: como a parte fracionária é \dfrac{3307}{100000} e 100000 não é potência de 2, a expansão binária é periódica (não termina), por isso coloquei reticências para indicar continuação. Para a prova normalmente basta escrever a parte inteira exata e alguns bits fracionários que garantam a precisão pedida.

Passo 7

Agora juntamos parte inteira e parte fracionária. A parte inteira 31_{10} virou 11111_2. A parte fracionária aproximada (com 25 bits) é ,0000100001110111010001101_2. Portanto a representação binária, com os bits iniciais mostrados, é
11111,0000100001110111010001101\ldots_2.

Resposta

11111,0000100001110111010001101\ldots_2

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