Transforme para binário os seguintes números.
\quad 31,03307_{10})
\quad 31,03307_{10})
Passo 1
O enunciado pede: transformar para base binária o número
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O número decimal é
. - Quer-se a representação em base 2 (binária).
Passo 2
Vamos separar o problema em duas partes (isso é padrão e facilita muito):
- converter a parte inteira
para binário; - converter a parte fracionária
para binário.
Explicação rápida do porquê dessa separação: a representação binária de um número com parte inteira e fracionária é da forma
Passo 3
Como converter a parte inteira (método e exemplo): dividir sucessivamente por
e anotar os restos. A representação binária da parte inteira é os restos lidos de baixo para cima (último resto é o bit mais significativo).
Aplicando a
:
Lendo os restos de baixo para cima obtemos
. Logo a parte inteira
em binário é
.
Passo 4
Como converter a parte fracionária (método e ideia): multiplicar a parte fracionária por
. Em cada multiplicação, a parte inteira do resultado (
ou
) é o próximo bit da expansão binária; a nova parte fracionária é a parte decimal do produto. Repetir até obter fracção zero (termina) ou até obter a precisão desejada (muitos casos repetem infinitamente).
No nosso caso a parte fracionária é
Usar a forma racional
permite fazer as multiplicações sem perda: em cada passo multiplicamos o numerador por
e verificamos se ficou maior ou igual ao denominador
.
Passo 5
Vamos executar as multiplicações por
passo a passo (cada linha é um passo: multiplicar por
, verificar se >=
, tomar bit e atualizar o numerador). Faço até obter boa precisão (aqui vou mostrar os primeiros 25 bits da parte fracionária — suficiente para a maioria das provas; se precisar de mais, o mesmo procedimento continua).
Passo 6
Juntando os bits obtidos para a parte fracionária: os primeiros
bits após a vírgula são
(Escrevendo sem a vírgula inicial: os bits são
.)
Obs.: como a parte fracionária é
e
não é potência de
, a expansão binária é periódica (não termina), por isso coloquei reticências para indicar continuação. Para a prova normalmente basta escrever a parte inteira exata e alguns bits fracionários que garantam a precisão pedida.
Passo 7
Agora juntamos parte inteira e parte fracionária. A parte inteira
virou
. A parte fracionária aproximada (com 25 bits) é
. Portanto a representação binária, com os bits iniciais mostrados, é