Transforme para binário os seguintes números.
14,4218_{10}

Passo 1

O enunciado pede para transformar o número 14{,}4218_{10} (base decimal) para a base binária.
Informações dadas:
  • O número decimal a converter é 14{,}4218_{10}.
  • Quer-se a representação em base 2 (binária).

Passo 2

Converter a parte inteira 14.
Método (divisões sucessivas por 2): dividir a parte inteira por 2 e anotar os restos; a representação binária da parte inteira é a leitura dos restos de baixo para cima (do último resto obtido até o primeiro).
Cálculos:
\begin{array}{l} 14 \div 2 = 7\\ \text{resto}\\\ 0,\\[2pt] 7 \div 2 = 3\\ \text{resto}\\\ 1,\\[2pt] 3 \div 2 = 1\\ \text{resto}\\\ 1,\\[2pt] 1 \div 2 = 0\\ \text{resto}\\\ 1. \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima: 1,1,1,0. Logo a parte inteira em binário é
14_{10} = 1110_2.
Explicação didática curta: cada divisão por 2 dá o próximo dígito binário (resto 0 ou 1); ao chegar em quociente 0 paramos.]

Passo 3

Converter a parte fracionária 0{,}4218.
Método (multiplicações sucessivas por 2): multiplica-se a parte fracionária por 2. A parte inteira do resultado (ou seja, 0 ou 1) é o próximo dígito binário fracionário; repete-se com a parte fracionária restante até obter a precisão desejada ou até a fração tornar-se 0.
Antes de calcular: observar que 0{,}4218 = \dfrac{4218}{10000} = \dfrac{2109}{5000}. Como o denominador 5000 contém fatores primos diferentes de 2 (tem potências de 5), a expansão binária será periódica (repetirá) e não termina; portanto teremos uma representação binária infinita periódica. Na prática, para a prova normalmente basta obter um número suficiente de dígitos e indicar que há repetição.
Agora, aplicando multiplicações por 2 e anotando a parte inteira em cada passo (mostrando vários passos para ficar bem didático):
\begin{array}{ll} \text{passo 1:}& 0{,}4218\times 2 = 0{,}8436\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_1 = 0\\[4pt] \text{passo 2:}& 0{,}8436\times 2 = 1{,}6872\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_2 = 1\\[4pt] \text{passo 3:}& 0{,}6872\times 2 = 1{,}3744\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_3 = 1\\[4pt] \text{passo 4:}& 0{,}3744\times 2 = 0{,}7488\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_4 = 0\\[4pt] \text{passo 5:}& 0{,}7488\times 2 = 1{,}4976\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_5 = 1\\[4pt] \text{passo 6:}& 0{,}4976\times 2 = 0{,}9952\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_6 = 0\\[4pt] \text{passo 7:}& 0{,}9952\times 2 = 1{,}9904\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_7 = 1\\[4pt] \text{passo 8:}& 0{,}9904\times 2 = 1{,}9808\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_8 = 1\\[4pt] \text{passo 9:}& 0{,}9808\times 2 = 1{,}9616\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_9 = 1\\[4pt] \text{passo 10:}& 0{,}9616\times 2 = 1{,}9232\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{10} = 1\\[4pt] \text{passo 11:}& 0{,}9232\times 2 = 1{,}8464\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{11} = 1\\[4pt] \text{passo 12:}& 0{,}8464\times 2 = 1{,}6928\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{12} = 1\\[4pt] \text{passo 13:}& 0{,}6928\times 2 = 1{,}3856\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{13} = 1\\[4pt] \text{passo 14:}& 0{,}3856\times 2 = 0{,}7712\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{14} = 0\\[4pt] \text{passo 15:}& 0{,}7712\times 2 = 1{,}5424\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{15} = 1\\[4pt] \text{passo 16:}& 0{,}5424\times 2 = 1{,}0848\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{16} = 1\\[4pt] \text{passo 17:}& 0{,}0848\times 2 = 0{,}1696\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{17} = 0\\[4pt] \text{passo 18:}& 0{,}1696\times 2 = 0{,}3392\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{18} = 0\\[4pt] \text{passo 19:}& 0{,}3392\times 2 = 0{,}6784\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{19} = 0\\[4pt] \text{passo 20:}& 0{,}6784\times 2 = 1{,}3568\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{20} = 1\\[4pt] \text{passo 21:}& 0{,}3568\times 2 = 0{,}7136\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{21} = 0\\[4pt] \text{passo 22:}& 0{,}7136\times 2 = 1{,}4272\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{22} = 1\\[4pt] \text{passo 23:}& 0{,}4272\times 2 = 0{,}8544\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{23} = 0\\[4pt] \text{passo 24:}& 0{,}8544\times 2 = 1{,}7088\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{24} = 1\\[4pt] \text{passo 25:}& 0{,}7088\times 2 = 1{,}4176\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{25} = 1\\[4pt] \text{passo 26:}& 0{,}4176\times 2 = 0{,}8352\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{26} = 0\\[4pt] \text{passo 27:}& 0{,}8352\times 2 = 1{,}6704\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{27} = 1\\[4pt] \text{passo 28:}& 0{,}6704\times 2 = 1{,}3408\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{28} = 1\\[4pt] \text{passo 29:}& 0{,}3408\times 2 = 0{,}6816\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{29} = 0\\[4pt] \text{passo 30:}& 0{,}6816\times 2 = 1{,}3632\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{30} = 1\\[4pt] \text{passo 31:}& 0{,}3632\times 2 = 0{,}7264\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{31} = 0\\[4pt] \text{passo 32:}& 0{,}7264\times 2 = 1{,}4528\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{32} = 1\\[4pt] \text{passo 33:}& 0{,}4528\times 2 = 0{,}9056\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{33} = 0\\[4pt] \text{passo 34:}& 0{,}9056\times 2 = 1{,}8112\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{34} = 1\\[4pt] \text{passo 35:}& 0{,}8112\times 2 = 1{,}6224\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{35} = 1\\[4pt] \text{passo 36:}& 0{,}6224\times 2 = 1{,}2448\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{36} = 1\\[4pt] \text{passo 37:}& 0{,}2448\times 2 = 0{,}4896\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{37} = 0\\[4pt] \text{passo 38:}& 0{,}4896\times 2 = 0{,}9792\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{38} = 0\\[4pt] \text{passo 39:}& 0{,}9792\times 2 = 1{,}9584\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{39} = 1\\[4pt] \text{passo 40:}& 0{,}9584\times 2 = 1{,}9168\quad\Rightarrow\\ \text{bit}_{40} = 1. \end{array}
Portanto, os primeiros 40 bits fracionários são:
\text{bits fracionários} = 0\;1\;1\;0\;1\;0\;1\;1\;1\;1\;1\;1\;1\;0\;1\;1\;0\;0\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;1\;0\;1\;1\;0\;1\;0\;1\;0\;1\;1\;1\;0\;0\;1\;1.á
Escrevendo-os juntos (sem espaços):
0110101111111011000101011011010101110011\ldots
Observação didática: o resultado é infinito e periódico; por isso usamos reticências. Na prática, para a prova costuma-se dar um número suficiente de casas e indicar que continua periodicamente.]

Passo 4

Juntar a parte inteira e a fracionária: a parte inteira 1110_2 seguida da virgula e dos bits fracionários obtidos. Assim uma aproximação binária com 40 bits fracionários é
1110{,}0110101111111011000101011011010101110011_2\ldots
Se quiser menos dígitos (por exemplo 16 casas fracionárias para uma resposta curta), pega-se os primeiros 16 bits fracionários: 0110101111111011, dando
1110{,}0110101111111011_2\quad(\text{aprox.})

Resposta

14{,}4218_{10}=1110{,}0110101111111011000101011011010101110011_2\ldots

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