Transforme para binário os seguintes números.
25,53971_{10}

Passo 1

O enunciado pede: transformar para binário o número \,25,53971_{10}.
Informações dadas:
  • Parte inteira: \,25.
  • Parte fracionária: \,0,53971.
    A tarefa é escrever o número na base 2, ou seja, encontrar a representação \,(\text{algo})_2 equivalente ao valor em base 10 fornecido.

Passo 2

Como converter a parte inteira (método e execução).
Método: dividir sucessivamente por \,2 e anotar os restos; a sequência de restos lida de baixo para cima dá a representação binária da parte inteira. Isso ocorre porque qualquer inteiro N pode ser escrito como \,N=\sum_{k\ge0} r_k 2^k onde r_k\in\{0,1\} são os restos das divisões sucessivas por 2.
Aplicando a \,25:
\begin{array}{l} 25 \div 2 = 12\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 12 \div 2 = 6\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 6 \div 2 = 3\\ \text{resto}\\\ 0\\\\ 3 \div 2 = 1\\ \text{resto}\\\ 1\\\\ 1 \div 2 = 0\\ \text{resto}\\\ 1 \end{array}
Lendo os restos de baixo para cima: \,25_{10} = 11001_2.

Passo 3

Como converter a parte fracionária (método).
Método: multiplicar a parte fracionária por \,2. A parte inteira do produto ( 0 ou 1) é o próximo dígito binário após a vírgula; a nova parte fracionária (a sobra) é multiplicada por 2 de novo, e assim por diante. Formalmente, se a parte fracionária inicial é f com 0\le f<1, então os bits fracionários b_1,b_2,\dots vêm de:
b_k = \lfloor 2 f_{k-1}\rfloor,\qquad f_k = 2 f_{k-1}-b_k,\qquad f_0=f.
A expansão binária é \sum_{k\ge1} b_k 2^{-k}. Se em algum passo f_k=0 a expansão termina; caso contrário é infinita e truncamos/arreondamos conforme necessidade.

Passo 4

Converter a parte fracionária \,0,53971 por multiplicações sucessivas (vou mostrar muitos passos para você aprender o padrão). Em cada linha: produto, bit gerado, nova fracção.
\begin{array}{ll} \text{1: } & 2\cdot 0,53971 = 1,07942 \quad\Rightarrow\\ b_1=1,\\ f_1=0,07942\\[2pt] \text{2: } & 2\cdot 0,07942 = 0,15884 \quad\Rightarrow\\ b_2=0,\\ f_2=0,15884\\[2pt] \text{3: } & 2\cdot 0,15884 = 0,31768 \quad\Rightarrow\\ b_3=0,\\ f_3=0,31768\\[2pt] \text{4: } & 2\cdot 0,31768 = 0,63536 \quad\Rightarrow\\ b_4=0,\\ f_4=0,63536\\[2pt] \text{5: } & 2\cdot 0,63536 = 1,27072 \quad\Rightarrow\\ b_5=1,\\ f_5=0,27072\\[2pt] \text{6: } & 2\cdot 0,27072 = 0,54144 \quad\Rightarrow\\ b_6=0,\\ f_6=0,54144\\[2pt] \text{7: } & 2\cdot 0,54144 = 1,08288 \quad\Rightarrow\\ b_7=1,\\ f_7=0,08288\\[2pt] \text{8: } & 2\cdot 0,08288 = 0,16576 \quad\Rightarrow\\ b_8=0,\\ f_8=0,16576\\[2pt] \text{9: } & 2\cdot 0,16576 = 0,33152 \quad\Rightarrow\\ b_9=0,\\ f_9=0,33152\\[2pt] \text{10: } & 2\cdot 0,33152 = 0,66304 \quad\Rightarrow\\ b_{10}=0,\\ f_{10}=0,66304\\[2pt] \text{11: } & 2\cdot 0,66304 = 1,32608 \quad\Rightarrow\\ b_{11}=1,\\ f_{11}=0,32608\\[2pt] \text{12: } & 2\cdot 0,32608 = 0,65216 \quad\Rightarrow\\ b_{12}=0,\\ f_{12}=0,65216\\[2pt] \text{13: } & 2\cdot 0,65216 = 1,30432 \quad\Rightarrow\\ b_{13}=1,\\ f_{13}=0,30432\\[2pt] \text{14: } & 2\cdot 0,30432 = 0,60864 \quad\Rightarrow\\ b_{14}=0,\\ f_{14}=0,60864\\[2pt] \text{15: } & 2\cdot 0,60864 = 1,21728 \quad\Rightarrow\\ b_{15}=1,\\ f_{15}=0,21728\\[2pt] \text{16: } & 2\cdot 0,21728 = 0,43456 \quad\Rightarrow\\ b_{16}=0,\\ f_{16}=0,43456\\[2pt] \text{17: } & 2\cdot 0,43456 = 0,86912 \quad\Rightarrow\\ b_{17}=0,\\ f_{17}=0,86912\\[2pt] \text{18: } & 2\cdot 0,86912 = 1,73824 \quad\Rightarrow\\ b_{18}=1,\\ f_{18}=0,73824\\[2pt] \text{19: } & 2\cdot 0,73824 = 1,47648 \quad\Rightarrow\\ b_{19}=1,\\ f_{19}=0,47648\\[2pt] \text{20: } & 2\cdot 0,47648 = 0,95296 \quad\Rightarrow\\ b_{20}=0,\\ f_{20}=0,95296 \end{array}
Os primeiros 20 bits da parte fracionária são, na ordem b_1b_2\ldots b_{20}:
1\,0\,0\,0\,1\;0\,1\,0\,0\,0\;1\,0\,1\,0\,1\;0\,0\,1\,1\,0.
Ou seja, a fracção começa por \,0,10001\,01000\,10101\,00110_2 (agrupado para facilitar a leitura).]

Passo 5

Montando a representação completa: a parte inteira foi \,11001_2 e a parte fracionária (primeiros 20 bits) é \,10001010001010100110_2. Portanto, truncando/aproximando após 20 bits fracionários:
25,53971_{10}\approx 11001,10001010001010100110_2.

Passo 6

Comentário sobre precisão e arredondamento (útil para a prova).
  • A expansão fracionária em base 2 geralmente é infinita; aqui não obtivemos f_k=0 nos primeiros 20 passos, então a expansão continua.
  • Se truncarmos após n bits fracionários, o erro absoluto máximo é menor que \,2^{-n}. Para n=20 temos \,2^{-20}\approx 9,5367\times10^{-7}, que é bem pequeno em relação à precisão dos cinco dígitos decimais dados.
  • Em prova, se pedirem “aproxime com m casas binárias”, faça exatamente esse truncamento e, se pedirem arredondar, eleve o último bit conforme o bit seguinte.

Resposta

11001,10001010001010100110_2

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