Transforme as senoides a seguir em fasores:
-20 \cos \left(4 t+135^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede que transformemos a senoide dada em um fasor. A senoide fornecida é
-20 \cos \left(4 t+135^{\circ}\right).
Informações relevantes: a amplitude instantânea é -20, a frequência angular aparente é 4 (rad/s) e a fase indicada é 135^{\circ}. Queremos a representação em fasor (complexa), que elimina a dependência temporal \cos(4t+\cdot) e deixa apenas a amplitude complexa.

Passo 2

O que é um fasor e como fazemos a correspondência? Vou explicar passo a passo, bem devagar.
Um fasor é a representação complexa da amplitude de uma senoide no domínio fasorial: ele representa a magnitude e a fase que multiplicam uma base harmônica \cos(\omega t) (ou, mais formalmente, e^{j\omega t}). A convenção que usaremos é esta: se tivermos
A \cos(\omega t + \varphi),
então o fasor associado (representação complexa no domínio da amplitude) é
\tilde{A} = A \angle \varphi,
ou seja, magnitude A e ângulo \varphi. Aqui A é o valor de pico (não valor RMS). Explicando as variáveis:
  • \omega é a frequência angular (rad/s) — não entra no fasor numérico, mas indica a mesma frequência para todos os fasores comparáveis.
  • A é a amplitude (pico) da senoide.
  • \varphi é a fase em graus (ou radianos).
    Observação prática: se a amplitude A for negativa, podemos absorver o sinal negativo somando 180^{\circ} ao ângulo, porque
-1 = \angle 180^{\circ}.
Exemplo rápido: -5\cos(\omega t+30^\circ) corresponde ao fasor -5\angle 30^\circ, que também pode ser escrito como 5\angle 210^\circ (ou 5\angle -150^\circ).

Passo 3

Aplique a regra ao nosso caso. Temos
-20 \cos\left(4t+135^\circ\right).
Pela correspondência direta isso seria o fasor
\tilde{X} = -20 \angle 135^\circ.
Agora ajustamos o sinal negativo somando 180^\circ ao ângulo:
-20 \angle 135^\circ = 20 \angle (135^\circ + 180^\circ) = 20 \angle 315^\circ.
É comum preferir ângulos dentro de (-180^\circ,180^\circ]; note que 315^\circ é equivalente a -45^\circ. Então outra forma muito usada é
\tilde{X} = 20 \angle -45^\circ.

Passo 4

Se você quiser o fasor em forma retangular (parte real + j parte imaginária) para usar em cálculos com números complexos, convertemos de polar para retangular. Usamos as fórmulas
\text{Re} = R\cos\theta,\qquad \text{Im} = R\sin\theta,
onde R é a magnitude e \theta é o ângulo em radianos ou graus. Para 20\angle -45^\circ:
\cos(-45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin(-45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Logo
\tilde{X} = 20\bigg(\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg) + j\,20\bigg(-\frac{\sqrt{2}}{2}\bigg) = 10\sqrt{2} - j\,10\sqrt{2}.

Passo 5

Recapitulando com calma: a senoide -20\cos(4t+135^\circ) tem o mesmo fasor que 20\cos(4t-45^\circ) (fique tranquilo, é só manipulação de fase), e seu fasor pode ser expresso tanto em forma polar quanto em forma retangular, úteis em diferentes contextos de resolução.

Resposta

\tilde{X}=20\angle -45^\circ
\tilde{X}=10\sqrt{2}-j\,10\sqrt{2}

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