Em uma transmissão de modulação em amplitude, uma operadora possuí disponível 10 k W de potência para o sinal transmitido, i.e., potência do s(t) é 10 k W. Ela deseja transmitir o sinal m(t), que tem largura de banda B=10 \mathrm{kHz}. O nível do ruído é dado por N_{0} / 2=10^{-4} d[\mathrm{~W} / \mathrm{Hz} / \mathrm{km}], onde d é a distância em quilômetros (km). Considere que a potência do sinal da informação seja P=1 W. Determine:
( 1,0 pontos) Considerando que a operadora utiliza a modulação \mathrm{DSB}+\mathrm{C}, com constante de sensibilidade do modulador ajustada para k_{a}=0,5. Se for medido uma S N R_{p r e}=30 d B e desejado obter uma S N R_{\text {pos }} igual à 30 d B, qual a distância máxima que esse sinal pode viajar?

Passo 1

O enunciado trata de uma transmissão AM DSB + C com largura de banda da mensagem B=10\;\mathrm{kHz}, potência total do sinal modulador
P_s = 10\;\mathrm{kW},
e potência da mensagem
P_m = 1\;\mathrm{W}.
A sensibilidade do modulador é k_a=0{,}5. O ruído no canal é tal que
\frac{N_0}{2} = 10^{-4}\,d\;\bigl[\mathrm{W/Hz}\bigr],
onde d é a distância em quilômetros. Mediu-se uma relação sinal-ruído pré-detecção
\mathrm{SNR_{pre}} = 30\;\mathrm{dB},
e deseja-se obter pós-detecção
\mathrm{SNR_{pos}} = 30\;\mathrm{dB}.
Vamos achar a distância máxima d para que isso seja possível.

Passo 2

Primeiro encontramos a potência do portador P_c. Para AM DSB + C vale
P_s \;=\; P_c\bigl(1 + k_a^2\,P_m\bigr).
Como P_s=10\,\mathrm{kW}, k_a=0{,}5 e P_m=1,
P_c \;=\;\frac{P_s}{1 + (0{,}5)^2\cdot1} =\frac{10\,000}{1{,}25} =8\,000\;\mathrm{W}.

Passo 3

O ruído tem densidade espectral bilateral N_0/2=10^{-4}d, logo
N_0=2\cdot10^{-4}d\quad[\mathrm{W/Hz}].
A potência de ruído na banda B é
P_N = N_0\,B = 2\cdot10^{-4}\,d\;\cdot10^4 = 2\,d\quad[\mathrm{W}].
A relação portador-ruído na entrada do detector é
\mathrm{CNR}(d) =\frac{P_c}{P_N} =\frac{8\,000}{2\,d} =\frac{4\,000}{d} \quad\text{(linear)}.
Em decibéis, \mathrm{SNR_{pre}}(d)=10\log_{10}(4\,000/d).

Passo 4

A relação pós-detecção de um demodulador coerente AM é
\mathrm{SNR_{pos}} =\frac{(k_aA_c)^2\,P_m/4}{N_0B/4} =\frac{(k_aA_c)^2\,P_m}{N_0B}
mas como P_c=A_c^2/2 e \mathrm{CNR}=P_c/(N_0B), resulta
\mathrm{SNR_{pos}} =2\,k_a^2\,P_m\;\mathrm{CNR}
e, para k_a=0{,}5 e P_m=1,
\mathrm{SNR_{pos}} = 2\,(0{,}5)^2\cdot1\;\mathrm{CNR} =0{,}5\,\mathrm{CNR}.
Em dB isso equivale a
\mathrm{SNR_{pos}}[\mathrm{dB}] =\mathrm{SNR_{pre}}[\mathrm{dB}]\,-\,3\;\mathrm{dB}.
Para ter \mathrm{SNR_{pos}}=30\;\mathrm{dB} é preciso \mathrm{SNR_{pre}}=33\;\mathrm{dB}, i.e.\ em termos lineares \mathrm{CNR}=2\,000.

Passo 5

Impondo \mathrm{CNR}(d)=4\,000/d=2\,000, vem
\frac{4\,000}{d}=2\,000 \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{4\,000}{2\,000} = 2\;\mathrm{km}.

Resposta

A distância máxima é 2\;\mathrm{km}.

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