Quando se trata de sistemas eletrostáticos, o estudo de campos elétricos gerados por distribuições de carga é fundamental para compreender como essas cargas interagem no espaço. Considerando um segmento de linha reta de comprimento L, com uma carga Q distribuída uniformemente ao longo dele, encontre o campo elétrico a uma distância z acima de uma das extremidades de um segmento de linha reta.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico gerado por um segmento retilíneo de comprimento L que carrega carga total Q distribuída uniformemente, medido em um ponto P situado a uma distância z acima de uma das extremidades do segmento. Vamos usar a Lei de Coulomb para distribuições contínuas, definindo densidade linear lambda = Q/L e integrando as contribuições de cada elemento de carga.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas tal que o segmento vá de x=0 a x=L ao longo do eixo x e o ponto P tenha coordenadas (0,0,z). Um elemento de carga vale
dq = lambda,dx = QL,dx
e o vetor que liga dq a P é
vec r = -,x,hatimath + z,hat k, r = raizx^2+z^2

Passo 3

Pela Lei de Coulomb, o campo diferencial é
dvec E = 14piepsilon0,dqr^2,hat r = 14piepsilon0,lambda,dx(x^2+z^2), -x,hatimath + z,hat kraizx^2+z^2 = lambda4piepsilon0, -x,dx,hatimath + z,dx,hat k(x^2+z^2)^3/2
Assim o campo total tem componentes
Ex = integral0^L dEx = -lambda4piepsilon0integral0^Lx,dx(x^2+z^2)^3/2,
Ez = integral0^L dEz = lambda4piepsilon0integral0^Lz,dx(x^2+z^2)^3/2

Passo 4

Calculamos as integrais:
1.
integral0^Lx,dx(x^2+z^2)^3/2 =gl[-1raizx^2+z^2gr]0^L =1z-1raizL^2+z^2
integral0^Ldx(x^2+z^2)^3/2 =Lz^2raizL^2+z^2,
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integral0^Lz,dx(x^2+z^2)^3/2 =z,Lz^2raizL^2+z^2 =LzraizL^2+z^2

Passo 5

Substituindo em Ex e Ez:
Ex =-lambda4piepsilon0l(1z-1raizL^2+z^2r) =Q4piepsilon0,Ll(1raizL^2+z^2-1zr),
Ez =lambda4piepsilon0,LzraizL^2+z^2 =Q4piepsilon0,L,LzraizL^2+z^2
Portanto o vetor campo é
vec E =Ex,hatimath + Ez,hat k

Resposta

boxed vec E =Q4piepsilon0,Ll(1raizL^2+z^2-1zr)hatimath +Q4piepsilon0,L,LzraizL^2+z^2;hat k

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