Um tratamento térmico por cementação pode ser efetuado a
em 1 hora. Em um esforço para reduzir o custo da substituição do revestimento de tijolos do forno, foi proposta a redução da temperatura de cementação para
. Qual tempo será necessário para se atingir um resultado similar ao de mais alta temperatura? São dados:
e
.
Passo 1
O enunciado pede: reduzir a temperatura de cementação de
para
e determinar qual tempo será necessário, de modo a obter um resultado similar ao que se obtém em
hora a
. Dados fornecidos:
O que queremos encontrar é o tempo
a
que produz a mesma penetração por difusão que
a
.
Passo 2
Entendendo o que significa “resultado similar”: em tratamentos por cementação o avanço do carbono é, em primeira aproximação, um processo controlado por difusão. A solução típica para difusão indica que a profundidade característica de penetração
escala como
onde
é o coeficiente de difusão e
o tempo. Para manter a mesma
ao passar de uma temperatura para outra requer que
Isso significa que, para obter a mesma penetração, o produto
deve permanecer constante.
Passo 3
Agora precisamos relacionar
com a temperatura. O coeficiente de difusão segue a lei de Arrhenius:
onde:
-
é o coeficiente de difusão ( ), -
é o fator pré-exponencial dado ( ), -
é a energia de ativação ( ), -
é a constante dos gases ideais ( ), -
é a temperatura em kelvin ( ).
Denotando as temperaturas e coeficientes correspondentes por
(para
) e
(para
), temos
Passo 4
Usando
isolamos
:
Substituindo as expressões de Arrhenius:
Logo
Passo 5
Converter temperaturas para kelvin:
Passo 6
Fazer a avaliação numérica passo a passo.
Calcular
:
Calcular a diferença de inversos de temperatura:
Multiplicar:
Calcular a exponencial:
(observação útil:
, por isso o resultado é praticamente
).
Portanto
Passo 7
Interpretação final e dica para a prova: reduzir a temperatura de
para
reduz fortemente o coeficiente de difusão; para manter a mesma penetração por difusão é preciso aumentar o tempo na mesma proporção inversa de
. Aqui deu uma razão limpa de
, o que facilita memorização e conferência rápida em prova.