Um tratamento térmico por cementação pode ser efetuado a 1200^{\circ} \mathrm{C} em 1 hora. Em um esforço para reduzir o custo da substituição do revestimento de tijolos do forno, foi proposta a redução da temperatura de cementação para 950^{\circ} \mathrm{C}. Qual tempo será necessário para se atingir um resultado similar ao de mais alta temperatura? São dados: \mathrm{D}_{0}=2,3 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e \mathrm{Q}=1,38 \times 10^{5} \mathrm{~J}.

Passo 1

O enunciado pede: reduzir a temperatura de cementação de 1200^\circ\mathrm{C} para 950^\circ\mathrm{C} e determinar qual tempo será necessário, de modo a obter um resultado similar ao que se obtém em 1 hora a 1200^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
D_0 = 2{,}3\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\qquad Q = 1{,}38\times 10^{5}\\ \mathrm{J/mol}.
O que queremos encontrar é o tempo t_2 a 950^\circ\mathrm{C} que produz a mesma penetração por difusão que t_1=1\\ \mathrm{h} a 1200^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo o que significa “resultado similar”: em tratamentos por cementação o avanço do carbono é, em primeira aproximação, um processo controlado por difusão. A solução típica para difusão indica que a profundidade característica de penetração x escala como
x \sim \sqrt{D\,t},
onde D é o coeficiente de difusão e t o tempo. Para manter a mesma x ao passar de uma temperatura para outra requer que
D_1\,t_1 = D_2\,t_2.
Isso significa que, para obter a mesma penetração, o produto D\,t deve permanecer constante.

Passo 3

Agora precisamos relacionar D com a temperatura. O coeficiente de difusão segue a lei de Arrhenius:
D = D_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T}\right),
onde:
  • D é o coeficiente de difusão ( \mathrm{m^2/s}),
  • D_0 é o fator pré-exponencial dado ( \mathrm{m^2/s}),
  • Q é a energia de ativação ( \mathrm{J/mol}),
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),
  • T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K}).
Denotando as temperaturas e coeficientes correspondentes por T_1, D_1 (para 1200^\circ\mathrm{C}) e T_2, D_2 (para 950^\circ\mathrm{C}), temos
D_1 = D_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T_1}\right),\qquad D_2 = D_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T_2}\right).

Passo 4

Usando D_1\,t_1 = D_2\,t_2 isolamos t_2:
t_2 = t_1\frac{D_1}{D_2}.
Substituindo as expressões de Arrhenius:
\frac{D_1}{D_2}=\frac{D_0\exp\!\left(-\frac{Q}{R T_1}\right)}{D_0\exp\!\left(-\frac{Q}{R T_2}\right)} =\exp\!\left(-\frac{Q}{R T_1}+\frac{Q}{R T_2}\right) =\exp\!\left(\frac{Q}{R}\Big(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Big)\right).
Logo
t_2 = t_1\exp\!\left(\frac{Q}{R}\Big(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Big)\right).

Passo 5

Converter temperaturas para kelvin:
T_1 = 1200^\circ\mathrm{C} = 1200 + 273{,}15 = 1473{,}15\\ \mathrm{K},
T_2 = 950^\circ\mathrm{C} = 950 + 273{,}15 = 1223{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Fazer a avaliação numérica passo a passo.
Calcular \dfrac{Q}{R}:
\frac{Q}{R} = \frac{1{,}38\times 10^{5}}{8{,}314} \approx 16598{,}3.
Calcular a diferença de inversos de temperatura:
\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}=\frac{1}{1223{,}15}-\frac{1}{1473{,}15} \approx 0{,}00081758-0{,}00067899 = 0{,}00013859.
Multiplicar:
\frac{Q}{R}\Big(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\Big)\approx 16598{,}3\times 0{,}00013859 \approx 2{,}3026.
Calcular a exponencial:
\exp(2{,}3026)\approx 10{,}00
(observação útil: \ln 10\approx 2{,}302585, por isso o resultado é praticamente 10).
Portanto
t_2 = t_1\times 10 \quad\Rightarrow\quad t_2 = 1\\ \mathrm{h}\times 10 = 10\\ \mathrm{h}.

Passo 7

Interpretação final e dica para a prova: reduzir a temperatura de 1200^\circ\mathrm{C} para 950^\circ\mathrm{C} reduz fortemente o coeficiente de difusão; para manter a mesma penetração por difusão é preciso aumentar o tempo na mesma proporção inversa de D. Aqui deu uma razão limpa de 10, o que facilita memorização e conferência rápida em prova.

Resposta

10\\ \mathrm{h}

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