3 - Travessia de Pedestres

Um pedestre andando precisa de 6 s para atravessar uma via. Vamos avaliar a qualidade da travessia para um momento em que a operação conta com fluxo veicular de 360 veículos/h e não tem semáforo.
Elementos para ajudar:
  • Qual o headway médio veicular?
  • Comparação entre o headway e o tempo de travessia
  • Como representar bem o fenômeno?
  • Que critério poderíamos estabelecer para dizer que a travessia está “boa ou ruim”?

Passo 1

O enunciado dá: o pedestre precisa de \;6\\ \text{s}\; para atravessar; o fluxo veicular é \;360\\ \text{veículos/h}\;í; não há semáforo. O que se pede (em itens):
  1. Qual o headway médio veicular?
  2. Comparação entre esse headway e o tempo de travessia do pedestre.
  3. Como representar bem o fenômeno (modelo que descreva os gaps entre veículos)?
  4. Que critério poderíamos estabelecer para dizer que a travessia está “boa ou ruim”?
Listei os dados relevantes: \;T_p=6\\ \text{s}\; (tempo do pedestre), \;q=360\\ \text{veículos/h}\;í (fluxo). A partir daí vou calcular o headway, comparar, apresentar um modelo simples e propor critérios mensuráveis.

Passo 2

Calcular o headway médio a partir do fluxo. Conceito e fórmula: o fluxo q (em veículos por hora) indica quantos veículos passam em uma hora; o headway médio \bar{h} é o tempo médio entre veículos (em segundos). A relação é:
\bar{h}=\frac{3600}{q},
porque 3600\\ \text{s} corresponde a uma hora; se q veículos passam em 3600\\ \text{s}, o tempo médio entre veículos é 3600/q. Aplicando ao caso:
\bar{h}=\frac{3600}{360}=10\\ \text{s}.
Interpretação didática: em média passa um veículo a cada 10\\ \text{s}. Isso é a medida básica que o pessoal usa para ver se há “espaço médio” suficiente para o pedestre.

Passo 3

Comparação direta: temos \bar{h}=10\\ \text{s} e o pedestre precisa de T_p=6\\ \text{s}. Num olhar superficial:
  • \bar{h}=10\\ \text{s} > T_p=6\\ \text{s}. Então, em média, os gaps são maiores que o necessário — “na média” há espaço para atravessar.
    Mas atenção: média nem sempre diz tudo. Mesmo que o headway médio seja maior que T_p, há muita variação: alguns gaps serão curtos (impossibilitando a travessia), outros longos (facilitando). Precisamos modelar essa variabilidade para entender a probabilidade de achar um gap seguro.

Passo 4

Como representar bem o fenômeno (modelo): uma escolha standard e simples é modelar as chegadas de veículos como um processo de Poisson — isto implica que os headways (tempos entre veículos) são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial. Explico isso passo a passo:
  • Processo de Poisson (justificativa simples): quando veículos chegam de forma “não sincronizada” e independente (sem sinalizando regular), assume-se que o número de veículos em intervalos de tempo segue Poisson; é um modelo comum para tráfego livre/aleatório.
  • Se chegadas são Poisson com taxa \lambda (em veículos por segundo), então os headways X têm distribuição exponencial com densidade f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x} para x\ge0, e média E[X]=1/\lambda.
  • Conexão com o fluxo: \lambda=q/3600 veículos por segundo. Aqui \lambda=360/3600=0{,}1\\ \text{s}^{-1}. Então E[X]=1/\lambda=10\\ \text{s}, consistente com o passo anterior.

Passo 5

Usar o modelo exponencial para calcular a probabilidade de um gap ser suficiente. Queremos a probabilidade de que um gap X seja pelo menos T_p=6\\ \text{s}. Para X\sim\text{Expon}(\lambda):
P(X\ge T_p)=\int_{T_p}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,dx = e^{-\lambda T_p}.
Com \lambda=0{,}1\\ \text{s}^{-1} e T_p=6\\ \text{s}:
P(X\ge6)=e^{-0{,}1\cdot 6}=e^{-0{,}6}\approx 0{,}5488.
Interpretação didática: isso significa que, se os veículos chegam de forma aleatória (Poisson), a probabilidade de que um gap aleatório entre veículos seja suficientemente grande para o pedestre travessar sem esperar é cerca de 54{,}9\%. Em termos práticos: um pouco mais da metade das vezes o pedestre poderá atravessar logo ao se aproximar; nas outras vezes terá que esperar por um gap maior.

Passo 6

Discussão de critérios para “boa” ou “ruim” e como traduzi-los em números (proposta prática). Ideia: transformar juízo qualitativo em uma métrica probabilística e em limites de fluxo. Duas opções simples e interpretáveis:
Critério A — probabilidade mínima de poder atravessar imediatamente:
Escolhemos um limiar p_0 (por exemplo, p_0=0{,}8 para ser exigente). Exigimos
P(X\ge T_p)=e^{-\lambda T_p}\ge p_0.
Despejando em q (fluxo em veículos/h):
\lambda\le -\frac{\ln p_0}{T_p},\qquad q=3600\lambda\le \frac{-3600\ln p_0}{T_p}.
Exemplo numérico com p_0=0{,}8 e T_p=6:
q\le \frac{-3600\ln(0{,}8)}{6}=\frac{3600\cdot 0{,}223143}{6}\approx133{,}9\\ \text{veículos/h}.í
Interpretação: para ter 80\% de chance de atravessar imediatamente, o fluxo deveria ser menor que cerca de \;134\\ \text{veh/h}. Nosso q=360 está bem acima disso, então segundo esse critério a travessia não é “boa”.
Critério B — critério menos rígido: exigir probabilidade de atravessar imediatamente pelo menos 50\% (ou seja, “na maioria das vezes”). Tomando p_0=0{,}5:
q\le \frac{-3600\ln(0{,}5)}{6}=\frac{3600\cdot 0{,}693147}{6}\approx415{,}9\\ \text{veículos/h}.í
Interpretação: com esse critério, fluxos até cerca de \;416\\ \text{veh/h} ainda dão P(X\ge6)\ge0{,}5. Nosso q=360 fica dentro desse limite, então pela métrica de 50% a travessia é aceitável.
Observação prática e recomendação: o critério a adotar depende do nível de serviço desejado. Eu sugeriria usar um critério do tipo “bom” se P(X\ge T_p)\ge0{,}8 (memorável e exigente), “aceitável” para 0{,}5\le P(X\ge T_p)<0{,}8, e “ruim” para P(X\ge T_p)<0{,}5. Com isso, para nosso caso P\approx0{,}549 a travessia seria “aceitável” mas não “boa”. Se quisermos garantir segurança/fluidez alta, precisamos reduzir o fluxo (ou implantar medidas: semáforo, ilhas refugio, faixas elevadas, ou travessia assistida).

Passo 7

Resumo numérico e interpretação final (passo-a-passo para usar na prova ou relatório):
  1. Converter q para \lambda: \lambda=q/3600. Aqui \lambda=0{,}1\\ \text{s}^{-1}.
  2. Headway médio: \bar{h}=1/\lambda=3600/q=10\\ \text{s}. Compare com T_p=6\\ \text{s}.
  3. Assumindo Poisson/exponencial, calcular P(X\ge T_p)=e^{-\lambda T_p}=e^{-0{,}6}\approx0{,}5488. Isso dá a probabilidade de conseguir atravessar imediatamente.
  4. Escolher critério prático (ex.: exigir P\ge0{,}8). Extrair limite de fluxo: q\le -3600\ln(p_0)/T_p. Para p_0=0{,}8 obtemos \approx134\\ \text{veh/h}. Para p_0=0{,}5 obtemos \approx416\\ \text{veh/h}.
  5. Conclusão aplicada: com q=360\\ \text{veh/h} a probabilidade de poder atravessar imediatamente é \approx54{,}9\%; pelo critério exigente ( 80\%) a travessia é ruim; pelo critério de maioria ( 50\%) ela é aceitável.

Resposta

Headway médio veicular: \;10\\ \text{s}.
Comparação entre headway e tempo de travessia: \bar{h}=10\\ \text{s}>T_p=6\\ \text{s} (em média o gap é maior que o necessário, mas há muita variação).
Representação adequada do fenômeno: chegadas modeladas por processo de Poisson ( \lambda=q/3600=0{,}1\\ \text{s}^{-1}), headways exponenciais; probabilidade de gap \ge6\\ \text{s}: P(X\ge6)=e^{-0{,}6}\approx0{,}5488.
Critério sugerido para “bom/ruim”: exigir P(X\ge T_p)\ge p_0; por exemplo, para p_0=0{,}8 o fluxo máximo seria \approx134\\ \text{veh/h} (critério exigente). Com o fluxo atual \;360\\ \text{veh/h}, P(X\ge6)\approx0{,}549 — aceitável por um critério de 50\%, mas não “bom” segundo um critério de 80\%.

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