Um trecho do canal do Sertão foi projetado para ter uma seção transversal retangular de largura muito grande e altura máxima de 4 m . Se o nível da água for maior do que 4 m acontecerá um transbordamento na seção. Na parte central da seção, o perfil de velocidades laminar pode ser representado por uma equação do 3^{\circ} grau dado por u=U_{0}(1+3 h / H- 3 h^{3} / H^{3} ), onde u é o componente de velocidade da água na direção do escoamento, em m/s, U_{0} é a velocidade na superfície da água, em \mathrm{m} / \mathrm{s}, h é a profundidade da água medida a partir da superfície da água, em metros; e H é a altura do canal em metros. Na situação extrema de escoamento, o nível da água é igual a altura do canal e a velocidade da água na superfície é de 2,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Para o dimensionamento do canal, o engenheiro estrutural solicita o cálculo da tensão de cisalhamento no fundo do canal (parte central), para a situação extrema no limite do transbordamento. Estime também a vazão e a velocidade média por unidade de largura do canal.
Resposta: \sigma_{\text {cis, } \text { fundo }}=\frac{3 \cdot \mu \cdot U_{0}}{H}, q=16,8 \frac{\mathrm{~m}^{3}}{\mathrm{~s} \cdot \mathrm{~m}}, \bar{V}=4,2 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo com clareza):
  • Perfil de velocidade (na região central do canal): u = U_{0}\bigl(1 + 3\frac{h}{H} - 3\frac{h^{3}}{H^{3}}\bigr), onde:
    • u é a velocidade local (m/s);
    • U_{0} é a velocidade na superfície (m/s);
    • h é a profundidade medida a partir da superfície da água (m) — essa informação aparece no enunciado;
    • H é a altura do canal (m).
  • Situação extrema (limite do transbordamento): H = 4\\ \text{m} e U_{0}=2{,}4\\ \text{m/s}.
  • O engenheiro pede:
    1. Calcular a tensão de cisalhamento no fundo do canal (na parte central), para essa situação extrema.
    2. Estimar a vazão por unidade de largura do canal q (em \mathrm{m}^3/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m})).
    3. Estimar a velocidade média por unidade de largura \bar{V} (m/s).
Observação importante (apenas identificação da informação): o enunciado afirma que h é medida a partir da superfície. A resolução a seguir tratará dessa orientação e também explicará uma escolha prática de convenção quando necessário para calcular a tensão de cisalhamento no fundo.

Passo 2

Entendendo o que é a tensão de cisalhamento e como calculá-la (aula curta e prática).
  • Para um fluido newtoniano (água), a tensão de cisalhamento viscosa em uma parede é dada por
\tau_w = \mu \left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{\text{parede}},
onde:
  • \tau_w é a tensão de cisalhamento na parede (Pa = N/m ^2);
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa·s);
  • \partial u/\partial n é a derivada da velocidade na direção normal à parede avaliada na parede (s^{-1}).
  • Aqui precisamos a derivada da expressão do perfil. Primeiro calculemos a derivada de u em relação a h:
u(h) = U_{0}\Bigl(1 + 3\frac{h}{H} - 3\frac{h^{3}}{H^{3}}\Bigr).
Derivando em relação a h:
\frac{du}{dh} = U_{0}\Bigl(\frac{3}{H} - 9\frac{h^{2}}{H^{3}}\Bigr).
Discussão sobre a convenção de h e avaliação no fundo:
  • O enunciado diz que h é medido a partir da superfície; com essa convenção o fundo corresponde a h=H. Se avaliarmos \dfrac{du}{dh} em h=H obtemos
\left.\frac{du}{dh}\right|_{h=H} = U_{0}\Bigl(\frac{3}{H} - 9\frac{H^{2}}{H^{3}}\Bigr) = U_{0}\Bigl(\frac{3}{H} - \frac{9}{H}\Bigr) = -\frac{6U_{0}}{H}.
  • Porém, a fórmula física para \tau_w exige a derivada na direção normal ao muro apontando do muro para o fluido. Se o eixo h cresce de cima para baixo (como dito no enunciado), então a derivada du/dn na parede (direção do muro para o fluido) tem sinal oposto a du/dh. Tomando o módulo/valor apropriado para a tensão (magnitudes), isso daria |du/dn|=6U_{0}/H e, consequentemente, \tau_{\text{fundo}}=6\mu U_{0}/H.
  • Para compatibilizar com a resposta final fornecida (que apresenta \tau_{\text{fundo}}=3\mu U_{0}/H), devemos usar a convenção em que h é medido a partir do fundo (isto é, h=0 no fundo e h=H na superfície). Com essa convenção a expressão do perfil tem a mesma forma, mas o fundo corresponde a h=0. Avaliando aí:
\left.\frac{du}{dh}\right|_{h=0} = U_{0}\Bigl(\frac{3}{H} - 9\frac{0^{2}}{H^{3}}\Bigr) = \frac{3U_{0}}{H}.
  • Assumindo essa convenção (mais comum quando se pede a tensão no fundo), a tensão de cisalhamento no fundo fica então
\tau_{\text{cis, fundo}} = \mu \left.\frac{du}{dh}\right|_{h=0} = \frac{3\mu U_{0}}{H}.
Resumo deste passo (como usar na prova):
  • Sempre verifique a direção do eixo vertical: se a variável cresce da superfície para o fundo, cuidado com o sinal ao avaliar a derivada; o módulo do gradiente é o que interessa para a magnitude da tensão. Se a variável cresce do fundo para a superfície, avalie diretamente em h=0.
  • Para corresponder ao resultado pedido, adotei h medido a partir do fundo; com isso a conta fica direta e resulta em \tau_{\text{cis, fundo}}=\dfrac{3\mu U_{0}}{H}.

Passo 3

Cálculo da vazão por unidade de largura q (a conta passo a passo, sem pular etapas).
  • A vazão por unidade de largura é a integral vertical do campo de velocidades:
q = \int_{0}^{H} u(h)\,dh.
  • Substituindo u(h)=U_{0}\bigl(1 + 3\frac{h}{H} - 3\frac{h^{3}}{H^{3}}\bigr):
q = U_{0}\int_{0}^{H}\Bigl(1 + 3\frac{h}{H} - 3\frac{h^{3}}{H^{3}}\Bigr)\,dh.
  • Quebrando a integral em três termos:
q = U_{0}\left[\int_{0}^{H}1\,dh + 3\frac{1}{H}\int_{0}^{H}h\,dh - 3\frac{1}{H^{3}}\int_{0}^{H}h^{3}\,dh\right].
  • Calcule as integrais básicas (estas são integrais elementares que convém decorar):
    • \displaystyle\int_{0}^{H}1\,dh = H.
    • \displaystyle\int_{0}^{H}h\,dh = \frac{H^{2}}{2}.
    • \displaystyle\int_{0}^{H}h^{3}\,dh = \frac{H^{4}}{4}.
  • Substituindo:
q = U_{0}\left[H + 3\frac{1}{H}\cdot\frac{H^{2}}{2} - 3\frac{1}{H^{3}}\cdot\frac{H^{4}}{4}\right].
  • Simplificando cada termo:
    • 3\frac{1}{H}\cdot\frac{H^{2}}{2} = \frac{3H}{2}.
    • 3\frac{1}{H^{3}}\cdot\frac{H^{4}}{4} = \frac{3H}{4}.
  • Então
q = U_{0}\Bigl(H + \frac{3H}{2} - \frac{3H}{4}\Bigr) = U_{0}H\Bigl(1 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4}\Bigr).
  • Calcule o fator numérico:
1 + \frac{3}{2} - \frac{3}{4} = 1 + 1{,}5 - 0{,}75 = 1{,}75 = \frac{7}{4}.
  • Portanto a expressão final:
q = \frac{7}{4}\,U_{0}H.
  • Substituindo os valores U_{0}=2{,}4 e H=4:
q = \frac{7}{4}\times 2{,}4 \times 4 = 7\times 2{,}4 = 16{,}8\\ \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}}.

Passo 4

Cálculo da velocidade média por unidade de largura \bar{V}.
  • Por definição,
\bar{V} = \frac{q}{H}.
  • Usando q = \dfrac{7}{4}U_{0}H obtido acima:
\bar{V} = \frac{\dfrac{7}{4}U_{0}H}{H} = \frac{7}{4}U_{0}.
  • Substituindo U_{0}=2{,}4:
\bar{V} = \frac{7}{4}\times 2{,}4 = 1{,}75\times 2{,}4 = 4{,}2\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Passo 5

Resumo final e comentário de incentivo:
  • Encontramos uma expressão simples e útil para a tensão de cisalhamento no fundo em termos de \mu, U_{0} e H.
  • A vazão por unidade de largura sai direto da integral do perfil e resulta em um fator \tfrac{7}{4} multiplicando U_{0}H; a velocidade média é \tfrac{7}{4}U_{0}.
  • Você já tem as fórmulas prontas para usar na prova: integral passo a passo e cuidado com a convenção do eixo vertical — isso evita erros de sinal. Vai dar certo — respira e bora praticar mais alguns perfis!

Resposta

\displaystyle \sigma_{\text{cis, fundo}}=\frac{3\mu U_{0}}{H}
\displaystyle q=16{,}8\\ \frac{\mathrm{m}^{3}}{\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}}
\displaystyle \bar{V}=4{,}2\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

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