Quais são os três tipos de derivadas temporais? Defina cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede: listar os três tipos de derivadas temporais e definir cada uma delas. Não foi fornecida informação adicional; portanto vou explicar e exemplificar as três definições clássicas usadas em física/engenharia (campo escalar vetorial, fluidos, mecânica do contínuo) de forma passo a passo e bem didática.
Passo 2
Derivada local (ou derivada temporal Euleriana) — definição e ideia intuitiva.
Definição: para um campo escalar \varphi(\mathbf{x},t) (por exemplo temperatura no ponto \mathbf{x} no tempo t), a derivada local é a variação temporal observada em um ponto espacial fixo. Matematicamente:
O que isso significa: imagine que você prende um termômetro num ponto fixo no espaço; a taxa de variação que esse termômetro mede é \partial\varphi/\partial t.
Observação prática: \partial\varphi/\partial t não leva em conta movimento do fluido/partícula — apenas mudanças no campo naquele ponto fixo.
Passo 3
Derivada material (ou derivada substancial / derivada Lagrangeana) — definição e dedução pelo chain rule.
Situação: siga uma partícula/fluid element cuja posição é \mathbf{x}(t) e que se move com velocidade \mathbf{v}(\mathbf{x},t)=\dot{\mathbf{x}}(t). A quantas a propriedade \varphi muda acompanhando essa partícula? Use regra da cadeia:
Interpretação: é a taxa de variação que um observador que segue a partícula sente. O termo \mathbf{v}\cdot\nabla\varphi é o termo convectivo/advecção — representa a contribuição da mudança espacial do campo quando a partícula se desloca.
Passo 4
Exemplo numérico simples para fixar a diferença entre \partial/\partial t e \mathrm{D}/\mathrm{D}t.
Considere \varphi(x,t)=x+t em uma dimensão e uma partícula com x(t)=t (logo \mathbf{v}=1).
Também diretamente: \varphi(x(t),t)=t+t=2t, e \mathrm{d}(2t)/\mathrm{d}t=2. Resultado coincide: bom sinal!
Passo 5
Derivada de volume de controle / Teorema do transporte de Reynolds — definição e fórmula integral.
Motivação: às vezes interessamos na taxa de variação de uma grandeza total num volume que pode ser fixo ou móvel (por exemplo, a massa ou energia dentro de uma caixa que pode ter paredes móveis). Para uma grandeza extensiva B(t)=\displaystyle\int_{CV(t)} b(\mathbf{x},t)\,\mathrm{d}V (onde b é densidade volumétrica da propriedade), o teorema de Reynolds diz:
CV(t) é o volume de controle, que pode variar com o tempo.
CS(t) é a superfície que limita CV(t).
\mathbf{v}(\mathbf{x},t) é a velocidade do fluido/partícula que atravessa a superfície.
\mathbf{v}_s(\mathbf{x},t) é a velocidade da superfície (se a borda do volume se move). Se o volume de controle é fixo, então \mathbf{v}_s=\mathbf{0}.
\mathbf{n} é o vetor normal externo à superfície.
Interpretação física: a taxa de variação total dentro do volume é a soma da variação local dentro do volume (primeiro termo) mais o fluxo líquido através da superfície (segundo termo), onde o fluxo usa a velocidade relativa \mathbf{v}-\mathbf{v}_s.
Passo 6
Casos especiais e formas comumente usadas.
Volume de controle fixo (\mathbf{v}_s=\mathbf{0}):
Relação com derivada material: se o CV(t) é exatamente o sistema material (seguindo as mesmas partículas; isto é, a superfície move-se com \mathbf{v}_s=\mathbf{v}), então o termo de fluxo desaparece e o teorema reduz-se a integrar a derivada material:
Resumo prático — quando usar cada derivada (dicas de prova).
Use \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial t} quando a pergunta fala em variação no tempo em um ponto fixo no espaço (observador Euleriano).
Use \displaystyle \frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla\varphi quando a pergunta pede a variação percebida ao seguir uma partícula ou elemento de fluido (observador Lagrangeano).
Use o teorema de Reynolds (derivada de volume de controle) quando tratar da variação temporal de uma quantidade total dentro de um volume que pode ser fixo ou móvel (análises de balanço massa/energia/momento em volumes de controle).
Dica de memória: “local (ponto fixo), material (sigo a partícula), Reynolds (sigo o volume/conta total + fluxo pela superfície)”.
Passo 8
Exemplos rápidos de interpretação (mais intuição).
Se \partial\varphi/\partial t=0 mas \mathbf{v}\cdot\nabla\varphi\neq0, o campo é estacionário no espaço mas uma partícula se deslocando encontra valores diferentes — ou seja, \mathrm{D}\varphi/\mathrm{D}t\neq0.
Se \mathrm{D}\varphi/\mathrm{D}t=0, a partícula vê a propriedade constante ao longo de sua trajetória (processo adiabático ideal para temperatura nula variação material, por exemplo).
Resposta
Derivada local (Euleriana): \displaystyle \frac{\partial \varphi}{\partial t} — variação temporal em um ponto espacial fixo.
Derivada material (substancial/Lagrangeana): \displaystyle \frac{\mathrm{D}\varphi}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial \varphi}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla\varphi — variação temporal vista por um observador que segue a partícula (velocidade \mathbf{v}).
Derivada de volume de controle (Teorema do transporte de Reynolds): \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{CV(t)} b\,\mathrm{d}V=\int_{CV(t)}\frac{\partial b}{\partial t}\,\mathrm{d}V+\oint_{CS(t)} b\,(\mathbf{v}-\mathbf{v}_s)\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}A — taxa de variação total de uma grandeza dentro de um volume (fixo ou móvel), incluindo o fluxo através da superfície.