Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituídos por duas canalizações em série, com as seguintes características:
Trecho I Trecho II
D(\mathrm{~mm}) 150 200
I(\mathrm{~m} / \mathrm{m}) 0.06 0.007
Determine a máxima e mínima vazões no trecho para que se verifique as seguintes condições da norma:
a. Máxima lâmina de água: h=0,75 \mathrm{D};
b. Mínima lâmina de água: h=0,20 \mathrm{D};
c. Velocidade máxima: V=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s};
d. Velocidade mínima: V=0,55 \mathrm{~m} / \mathrm{s};
e. Coeficiente de Manning: 0,013 .

Passo 1

O enunciado trata de um sistema série com duas canalizações circulares parcialmente cheias, de diâmetros D_1=0,15,m (trecho I) e D_2=0,20,m (trecho II), declives I_1=0,06 e I_2=0,007, e coeficiente de Manning n=0,013. A norma impõe limites de lâmina de água h_{\min}=0,20D e h_{\max}=0,75D, e velocidades V_{\min}=0,55,m/s e V_{\max}=4,m/s. Vamos:
  1. Para cada trecho e para cada condição de lâmina calcular a área molhada A, o perímetro molhado P e o raio hidráulico R=A/P.
  2. Usar Manning
Q = \frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,\sqrt{I}
para obter as vazões limite por lâmina (denotadas Q_{d\min}, Q_{d\max}).
3. Calcular as vazões mínimas e máximas a partir da condição de velocidade fixa em cada lâmina:
Q_{v\min}=V_{\min}\,A,\quad Q_{v\max}=V_{\max}\,A.
  1. Em cada trecho o intervalo admissível é
[\,\max\{Q_{d\min},Q_{v\min}\},\,\min\{Q_{d\max},Q_{v\max}\}\,].
  1. Como os trechos estão em série, o intervalo global é
[\max\text{(vazões mínimas dos dois)},\;\min\text{(vazões máximas dos dois)}].õíõá

Passo 2

Trecho I, lâmina máxima h=0,75D_1=0,1125,m. O ângulo de setor é
\theta = 2\operatorname{arccos}\bigl(1-2\tfrac{h}{D_1}\bigr) =2\operatorname{arccos}(-0,5)=\tfrac{4\pi}{3}\,\text{rad}.
Área molhada e perímetro molhado:
A_1=\frac{D_1^2}{8}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr) =\frac{(0,15)^2}{8}\bigl(\tfrac{4\pi}{3}+{\tfrac{\sqrt3}{2}}\bigr)\approx0{,}01421\;\mathrm{m^2},
P_1=\frac{D_1\,\theta}{2} =0{,}15\cdot\tfrac{4\pi}{6}\approx0{,}31416\;\mathrm{m}, \quad R_1=\frac{A_1}{P_1}\approx0{,}04525\;\mathrm{m}.
Vazão de Manning e por velocidade:
Q_{d\max,1}=\frac{1}{n}A_1R_1^{2/3}\sqrt{I_1} \approx\frac{1}{0{,}013}\,0{,}01421\,(0{,}04525)^{2/3}\sqrt{0{,}06} \approx0{,}0339\;\mathrm{m^3/s},
Q_{v\max,1}=V_{\max}\,A_1=4\cdot0{,}01421\approx0{,}05684\;\mathrm{m^3/s}.
Logo no trecho I o teto é
Q_{\max,1}=\min\{0{,}0339,\;0{,}05684\}=0{,}0339\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Trecho I, lâmina mínima h=0,20D_1=0,03,m. Calcula-se
\theta=2\operatorname{arccos}(1-0,4)=1{,}85459\;\mathrm{rad},
A_1=\frac{(0,15)^2}{8}(1{,}85459-\sin1{,}85459)\approx0{,}002514\;\mathrm{m^2}, \quad P_1=0{,}15\cdot\frac{1{,}85459}{2}\approx0{,}13909\;\mathrm{m}, \quad R_1\approx0{,}01807\;\mathrm{m}.
Então
Q_{d\min,1}\approx\frac{1}{0{,}013}\,0{,}002514\,(0{,}01807)^{2/3}\sqrt{0{,}06} \approx0{,}003256\;\mathrm{m^3/s},
Q_{v\min,1}=0,55\cdot0{,}002514\approx0{,}001383\;\mathrm{m^3/s}.
Portanto o piso no trecho I é
Q_{\min,1}=\max\{0{,}003256,\;0{,}001383\}=0{,}003256\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 4

Trecho II, lâmina máxima h=0,75D_2=0,15,m. Tem-se
\theta=4\pi/3,\quad A_2=\frac{(0,20)^2}{8}\bigl(\tfrac{4\pi}{3}+\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)\approx0{,}02527\;\mathrm{m^2},
P_2=0{,}20\cdot\frac{4\pi}{6}\approx0{,}41888\;\mathrm{m}, \quad R_2\approx0{,}06036\;\mathrm{m}.
Logo
Q_{d\max,2}=\frac{1}{0{,}013}\,0{,}02527\,(0{,}06036)^{2/3}\sqrt{0{,}007} \approx0{,}02496\;\mathrm{m^3/s},
Q_{v\max,2}=4\cdot0{,}02527\approx0{,}10108\;\mathrm{m^3/s},
Q_{\max,2}=\min\{0{,}02496,\;0{,}10108\}=0{,}02496\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Trecho II, lâmina mínima h=0,20D_2=0,04,m. Calcula-se
\theta=1{,}85459\;\mathrm{rad},\quad A_2\approx0{,}004469\;\mathrm{m^2},\quad P_2\approx0{,}18546\;\mathrm{m},\quad R_2\approx0{,}02410\;\mathrm{m}.
Então
Q_{d\min,2}\approx\frac{1}{0{,}013}\,0{,}004469\,(0{,}02410)^{2/3}\sqrt{0{,}007} \approx0{,}002399\;\mathrm{m^3/s},
Q_{v\min,2}=0,55\cdot0{,}004469\approx0{,}002458\;\mathrm{m^3/s},
Q_{\min,2}=\max\{0{,}002399,\;0{,}002458\}=0{,}002458\;\mathrm{m^3/s}.

Passo 6

O intervalo admissível em série é
Q_{\min}=\max\{Q_{\min,1},\,Q_{\min,2}\} =\max\{0{,}003256,\;0{,}002458\} =0{,}003256\;\mathrm{m^3/s},
Q_{\max}=\min\{Q_{\max,1},\,Q_{\max,2}\} =\min\{0{,}0339,\;0{,}02496\} =0{,}02496\;\mathrm{m^3/s}.

Resposta

Vazão mínima: Q_{\min}\approx0,00326, m^{3}/s
Vazão máxima: Q_{\max}\approx0,02496, m^{3}/s

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