Um trecho de um sistema de drenagem de esgotos sanitários é constituídos por duas canalizações em série, com as seguintes características:
Trecho I Trecho II
D(\mathrm{~mm}) 150 200
I(\mathrm{~m} / \mathrm{m}) 0.06 0.007
Determine a máxima e mínima vazões no trecho para que se verifique as seguintes condições da norma:
a. Máxima lâmina de água: h=0,75 \mathrm{D};
b. Mínima lâmina de água: h=0,20 \mathrm{D};
c. Velocidade máxima: V=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s};
d. Velocidade mínima: V=0,55 \mathrm{~m} / \mathrm{s};
e. Coeficiente de Manning: 0,013 .

Passo 1

O enunciado pede a vazão mínima e máxima admissível num trecho de esgoto formado por duas canalizações circulares em série, sujeitas às condições da norma: lâmina de água entre \,0,20D e \,0,75D e velocidade entre \,0,55,m/s e \,4,m/s. Usaremos a fórmula de Manning
Q \;=\;\frac{1}{n}\,A\,R_h^{2/3}\,S^{1/2},
onde A é a área molhada e R_h=A/P é o raio hidráulico (relação área/perímetro molhado), com profundidade h dada. Na sequência calculamos, para cada canalização, as vazões nos casos de h=0,75D e h=0,20D (via Manning) e as vazões mínimas e máximas impostas pelos limites de velocidade V_{\min} e V_{\max}. Por fim, escolhemos o maior dos Q_{\min} e o menor dos Q_{\max} entre as duas seções.

Passo 2

Seção I: D=0{,}15,m, S=0{,}06, n=0{,}013, R=\tfrac{D}{2}=0{,}075,m.
Profundidade máxima h=0,75D=0,1125,m:
\theta \;=\;2\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{R-h}{R}\Bigr) \;=\;2\operatorname{arccos}(-0,5) \;=\;\frac{4\pi}{3},
A \;=\;\frac{R^2}{2}\bigl(\theta-\sin\theta\bigr) \;=\;\frac{0,075^2}{2}\bigl(4{,}1888+0{,}8660\bigr) \approx0{,}01423\;\mathrm{m^2},
P \;=\;R\,\theta \;=\;0,075\times4{,}1888 \approx0{,}3142\;\mathrm{m}, \quad R_h=\frac{A}{P}\approx0{,}0453\;\mathrm{m}.
Vazão por Manning:
Q_{h\,\max,1} =\frac{1}{0{,}013}\,A\,R_h^{2/3}\,S^{1/2} \approx0{,}03417\;\mathrm{m^3/s}.
Vazão limite por V_{\max}=4,m/s:
Q_{V\,\max,1} =V_{\max}\,A =4\times0{,}01423 \approx0{,}0569\;\mathrm{m^3/s}.
Logo Q_{\max,1}=\min(0{,}03417,0{,}0569)=0{,}03417, m^{3}/s.
Profundidade mínima h=0,20D=0,03,m:
\theta=2\operatorname{arccos}(0{,}6)\approx1{,}8546, \quad A=\frac{0,075^2}{2}(1{,}8546-0{,}9603)\approx0{,}002516\;\mathrm{m^2},
P=0,075\times1{,}8546\approx0{,}1391\;\mathrm{m}, \quad R_h=\frac{0{,}002516}{0{,}1391}\approx0{,}01809\;\mathrm{m}.
Vazão por Manning:
Q_{h\,\min,1} =\frac{1}{0{,}013}\,0{,}002516\,(0{,}01809)^{2/3}\,(0{,}06)^{1/2} \approx0{,}003259\;\mathrm{m^3/s}.
Vazão limite por V_{\min}=0,55,m/s:
Q_{V\,\min,1} =0,55\times0{,}002516 \approx0{,}001384\;\mathrm{m^3/s}.
Logo Q_{\min,1}=\max(0{,}003259,0{,}001384)=0{,}003259, m^{3}/s.

Passo 3

Seção II: D=0{,}20,m, S=0{,}007, n=0{,}013, R=0{,}10,m.
Para h=0,75D=0,15,m obtém-se \theta=4\pi/3 e, análoga à seção I,
A\approx0{,}02527\;\mathrm{m^2},\quad R_h\approx0{,}06036\;\mathrm{m}.
Q_{h\,\max,2} =\frac{1}{0{,}013}\,0{,}02527\,(0{,}06036)^{2/3}\,(0{,}007)^{1/2} \approx0{,}02509\;\mathrm{m^3/s}, \quad Q_{V\,\max,2}=4\times0{,}02527\approx0{,}1011\;\mathrm{m^3/s},
logo Q_{\max,2}=0{,}02509, m^{3}/s.
Para h=0,20D=0,04,m obtém-se \theta\approx1{,}8546 e
A\approx0{,}004472\;\mathrm{m^2}, \quad R_h\approx0{,}02411\;\mathrm{m}.
Q_{h\,\min,2} =\frac{1}{0{,}013}\,0{,}004472\,(0{,}02411)^{2/3}\,(0{,}007)^{1/2} \approx0{,}002405\;\mathrm{m^3/s}, \quad Q_{V\,\min,2}=0,55\times0{,}004472\approx0{,}002459\;\mathrm{m^3/s},
logo Q_{\min,2}=\max(0{,}002405,0{,}002459)=0{,}002459, m^{3}/s.

Passo 4

Para o trecho em série, a vazão máxima do sistema é o menor Q_{\max} das duas seções, e a vazão mínima é o maior Q_{\min}:
Q_{\min}=\max(0{,}003259,\;0{,}002459)=0{,}003259\;\mathrm{m^3/s}, \qquad Q_{\max}=\min(0{,}03417,\;0{,}02509)=0{,}02509\;\mathrm{m^3/s}.

Resposta

Vazão mínima Q_{\min}=0{,}003259, m^{3}/s ( \approx 3,26 L/s)
Vazão máxima Q_{\max}=0{,}02509, m^{3}/s ( \approx 25,09 L/s)

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