Um trecho de uma tubulação coletora de esgotos que está sendo ampliado tem 100 m de comprimento para 0,80 \mathrm{~m} de desnível. Verifique se o diâmetro atual de 200 mm permite o escoamento de uma vazão de esgoto de 18,61 / \mathrm{s}. Caso o coletor atual não atenda essa vazão, determine:
(a) O novo diâmetro que deverá ser usado;
(b) A velocidade média do escoamento no novo coletor.
Considere que o coletor é de manilha de cerâmica ( n=0,013 ) e adote superfície do escoamento (lâmina d’água) no coletor na metade do diâmetro ( \mathrm{y}_{0} / \mathrm{D}=0,5 ).

Passo 1

O enunciado dá um trecho de coletor cilíndrico de cerâmica com comprimento L=100,m, queda h=0,80,m (logo declividade S=h/L), diâmetro atual D=200,mm, profundidade de escoamento igual à metade do diâmetro \bigl(y_0/D=0,5\bigr), rugosidade de Manning n=0,013 e vazão a conduzir Q=18{,}61,L/s. Queremos verificar se o coletor atual atende essa vazão e, se não, determinar (a) o novo diâmetro e (b) a velocidade média no novo coletor. Usaremos a fórmula de Manning para escoamento em canal circular parcialmente cheio:
Q = \frac{1}{n}\,A\,R_h^{2/3}\,S^{1/2}.

Passo 2

Calcular a declividade do trecho:
S = \frac{h}{L} = \frac{0{,}80}{100} = 0{,}008.
Converter a vazão para metros cúbicos por segundo:
Q = 18{,}61\\ \text{L/s} = 0{,}01861\\ \text{m}^3\!/s.

Passo 3

Para o diâmetro atual D=0{,}200,m e escoamento com y_0/D=0,5, o ângulo central é 2\alpha=\pi, de modo que
A = \frac{\pi D^2}{8}, \quad P = \frac{\pi D}{2}, \quad R_h = \frac{A}{P} = \frac{D}{4}.
Logo,
A = \frac{\pi\,(0{,}200)^2}{8} = 0{,}01571\\ \text{m}^2, \quad R_h = \frac{0{,}200}{4} = 0{,}050\\ \text{m}.
Aplicando Manning:
Q_{\rm calc} = \frac{1}{0{,}013}\,\bigl(0{,}01571\bigr)\,\bigl(0{,}050\bigr)^{2/3}\,(0{,}008)^{1/2} \approx 0{,}0147\\ \text{m}^3\!/s = 14{,}7\\ \text{L/s}.

Passo 4

Como
Q_{\rm calc}=14{,}7\\ \text{L/s} < Q_{\rm alvo}=18{,}61\\ \text{L/s},
o coletor de 200,mm não atende. Vamos então achar o diâmetro mínimo D que satisfaça Q=0{,}01861,m³/s, mantendo as mesmas condições ( y/D=0,5, n, S).

Passo 5

Para escoamento à meia cheia ( 2\alpha=\pi) obtém-se em função de D:
A = \frac{\pi D^2}{8}, \quad R_h = \frac{D}{4},
e portanto
Q = \frac{1}{n}\,\frac{\pi D^2}{8}\,\Bigl(\frac{D}{4}\Bigr)^{2/3}\,S^{1/2} = \frac{\pi}{8\,n\,4^{2/3}}\,S^{1/2}\,D^{8/3}.
Isolando D:
D^{8/3} = \frac{Q\,n\,8\,4^{2/3}}{\pi\,S^{1/2}}, \quad D = \biggl( \frac{Q\,n\,8\,4^{2/3}}{\pi\,\sqrt{S}} \biggr)^{3/8}.

Passo 6

Substituindo Q=0{,}01861,m³/s, n=0{,}013, S=0{,}008:
4^{2/3} \approx 2,5198, \quad 8\cdot4^{2/3}\approx 20,1587,
D = \biggl(\frac{0{,}01861\cdot0{,}013\cdot20{,}1587}{\pi\cdot\sqrt{0{,}008}} \biggr)^{3/8} \approx 0{,}219\\ \text{m} = 219\\ \text{mm}.

Passo 7

Como diâmetros comerciais seguem 200, 225, 250 mm, adota-se D_{\rm novo}=225,mm (ou, para cálculo ideal, 219,mm). Vamos usar D=0{,}219,m para obter a velocidade média:
A = \frac{\pi D^2}{8} \approx \frac{\pi\,(0{,}219)^2}{8} = 0{,}0188\\ \text{m}^2,
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}01861}{0{,}0188} \approx 0{,}99\\ \text{m/s}.

Resposta

(a) Novo diâmetro D\approx0{,}22,m (adotar 225 mm comercial).
(b) Velocidade média v\approx1{,}0,m/s.

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