Esquematize e utilize a teoria da dupla camada para encontrar a variação da concentração do oxigênio entre os seios gasoso e líquido. Conceitue o que representa fisicamente \mathrm{K}_{\mathrm{L}} \mathrm{a}.

Passo 1

O enunciado solicita que a gente represente esquematicamente a transferência de oxigênio do gás para o líquido usando a teoria da dupla camada (double-film theory) e, a partir dela, obtenha a equação que descreve a variação da concentração de oxigênio no líquido. Em seguida, pedirão o significado físico de \mathrm{K}_{\mathrm{L}}a. Para resolver isso, vamos usar:
1. O modelo de duas películas estacionárias (gás e líquido) separadas por uma interface em equilíbrio.
2. A lei de Fick para cada película.
3. A relação de Henry para ligar pressão de oxigênio no gás à concentração no líquido na interface.
4. O balanço de massa no volume de líquido para chegar à equação dinâmica de \mathrm{C}_L(t).

Passo 2

Esquematicamente, imagine uma bolha de gás em contato com o líquido. Ao redor da interface há duas películas de espessuras finitas \delta_G (no lado gasoso) e \delta_L (no lado líquido):
\underbrace{\text{bulk gás}}_{\mathrm{p}_{G} ,\, C_{G}} \;\longrightarrow\; \underbrace{\delta_{G}\;(\text{filme gás})}_{p(x),\,C_G(x)} \;\longrightarrow\; \underbrace{\text{interface}}_{p_i,\;C_i} \;\longrightarrow\; \underbrace{\delta_{L}\;(\text{filme líquido})}_{C(x)} \;\longrightarrow\; \underbrace{\text{bulk líquido}}_{C_L}ááíí
Em cada filme supomos perfil linear de concentração (ou de pressão no filme gás) porque a difusão é estacionária e a área de interface é plana localmente. Na interface há equilíbrio instantâneo de Henry:
p_i \;=\; H\,C_i
onde H é a constante de Henry para \mathrm{O}_2 em água.

Passo 3

Pela lei de Fick, a densidade de fluxo molar estacionário N atravessando cada filme é constante e vale
no filme gás:
N \;=\; k_G\bigl(p_G - p_i\bigr),
onde
k_G \;=\;\frac{D_G}{\delta_G}
é o coeficiente de transferência de massa no gás;
no filme líquido:
N \;=\; k_L\bigl(C_i - C_L\bigr),
onde
k_L \;=\;\frac{D_L}{\delta_L}
é o coeficiente de transferência de massa no líquido.
Como é regime estacionário, estes N são iguais. Substituindo p_i=H\,C_i e isolando C_i obtemos
k_G\bigl(p_G - H\,C_i\bigr) \;=\; k_L\bigl(C_i - C_L\bigr) \;\Longrightarrow\; C_i \;=\;\frac{k_G\,p_G + k_L\,C_L}{k_G\,H + k_L}.
Reconduzindo tudo a uma única expressão de fluxo com força motriz baseado na concentração de equilíbrio saturado
C^* \;=\;\frac{p_G}{H},
chegamos a
N \;=\; K_L\bigl(C^* - C_L\bigr),
onde o coeficiente global de líquido K_L satisfaz
\frac{1}{K_L} \;=\; \frac{1}{k_L} \;+\; \frac{H}{k_G}.

Passo 4

Agora fazemos o balanço de massa no volume de líquido agitado (volume V) com área de transferência total A. A taxa de dissolução de \mathrm{O}_2 é A\,N e aumenta a concentração C_L:
V\,\frac{dC_L}{dt} \;=\; A\,N \;=\; A\,K_L\bigl(C^* - C_L\bigr).
Definindo
a \;=\;\frac{A}{V},
temos a forma canônica
\frac{dC_L}{dt} \;=\; K_L\,a \bigl(C^* - C_L\bigr).
A solução, supondo C_L(0)=C_{L0}, é
C_L(t) \;=\; C^* \bigl[1 - e^{-K_L\,a\,t}\bigr] \;+\; C_{L0}\,e^{-K_L\,a\,t}.

Passo 5

Fisicamente, \mathrm{K}_{\mathrm{L}}\,a é o coeficiente volumétrico de transferência de massa no líquido. Cada parte significa:
\bullet \mathrm{K}_{\mathrm{L}} é o coeficiente de transferência de massa pela película líquida que traduz a eficiência da difusão do gás dissolvido no líquido.
\bullet a=A/V é a área específica de interface entre gás e líquido por unidade de volume de líquido.
O produto \mathrm{K}_{\mathrm{L}}\,a tem dimensão de [t^{-1}] e mede a rapidez com que o líquido tende a atingir a concentração de saturação C^*.

Resposta

A variação da concentração de oxigênio no líquido obedece à equação
\frac{dC_L}{dt} = K_L\,a\,(C^* - C_L),
com solução
C_L(t) = C^*\bigl[1 - e^{-K_L\,a\,t}\bigr] + C_{L0}\,e^{-K_L\,a\,t}.
Fisicamente, \mathrm{K}_{\mathrm{L}}a é o coeficiente volumétrico de transferência de massa no líquido, combinando a facilidade de difusão ( K_L) e a área de contato por volume ( a).

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