O trem de aterrisagem de um avião tem quatro pneus. Um pouso seguro pode ser feito mesmo que dois pneus estourem. Qual é a probabilidade de um pouso inseguro se a confiabilidade de um pneu for R=99,92 % (considere falhas independentes).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um trem de aterrissagem de avião com quatro pneus. Para um pouso ser seguro, mesmo que até dois pneus estourem, tudo certo. A confiabilidade de cada pneu é de $ R = 99,92% $. A pergunta é: qual a probabilidade de um pouso inseguro acontecer, considerando que as falhas dos pneus são independentes?

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa confiabilidade. A confiabilidade $ R $ de um pneu é a probabilidade de ele não falhar. Então, a probabilidade de um pneu falhar é:
R

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de um pouso inseguro, que ocorre quando mais de dois pneus falham, ou seja, se falharem 3 ou 4 pneus.
Para calcular isso, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a encontrar a probabilidade de exatamente $ k $ falhas em $ n $ tentativas, quando cada tentativa tem uma probabilidade $ q $ de falhar.
A fórmula da distribuição binomial é:
k
Onde:
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos escolher $ k $ falhas em $ n $ pneus.
  • $ q^k $ é a probabilidade de $ k $ pneus falharem.
  • $ (1 - q)^{n - k} $ é a probabilidade dos outros pneus não falharem.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de exatamente 3 pneus falharem ($ k = 3 $):
k = 3
Calculando cada parte:
  • $ \binom{4}{3} = 4 $
  • $ (0,0008)^3 = 0,000000512 $
  • $ (0,9992)^1 = 0,9992 $
Então:
P(3) = binom43 times (0,0008)^3 times (0,9992)^1

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de exatamente 4 pneus falharem ($ k = 4 $):
k = 4
Calculando cada parte:
  • $ \binom{4}{4} = 1 $
  • $ (0,0008)^4 = 0,0000000004096 $
  • $ (0,9992)^0 = 1 $
Então:
P(4) = binom44 times (0,0008)^4 times (0,9992)^0

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades de 3 e 4 falhas para encontrar a probabilidade total de um pouso inseguro:
P(inseguro) = P(3) + P(4) approx 0,000002048 + 0,0000000004096 = 0,0000020484096
Convertendo para porcentagem:
P(inseguro) approx 0,00020484%

Resposta

A probabilidade de um pouso inseguro é aproximadamente 0,00020484%.

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