Um avião sobrevoa uma cidade a uma altitude de 3 km e a uma velocidade
igual a 1,35 vezes a velocidade do som. A temperatura do ar é de 303 K e o vento está num sentido oposto ao do avião e com velocidade de
.
(a) Qual é a velocidade do avião?
(b) Para um observador no solo, qual é o tempo decorrido entre ver o avião passar sobre sua cabeça e ouvilo?
Sugestão: Considere que a velocidade do som no ar é dada por
, onde
é uma constante,
mol.K
é a constante universal dos gases e
é a massa molecular do ar.
(a) Qual é a velocidade do avião?
(b) Para um observador no solo, qual é o tempo decorrido entre ver o avião passar sobre sua cabeça e ouvilo?
Passo 1
Vamos organizar certinho o que o enunciado dá e o que ele pede, para não nos perdermos no desespero (tô contigo!).
- Dados do enunciado:
- Altitude do avião:
- A velocidade do avião em relação ao ar é
vezes a velocidade do som. - Temperatura do ar:
- Vento: sentido oposto ao do avião, com velocidade
- Fórmula sugerida para a velocidade do som:
com
- Altitude do avião:
- Perguntas:
(a) Qual é a velocidade do avião? (nota: o enunciado deuvezes a velocidade do som — isso é a velocidade do avião relativa ao ar; como tem vento, vou calcular também a velocidade relativa ao solo, que é o que um observador normalmente interpreta.)
(b) Para um observador no solo, qual é o tempo decorrido entre ver o avião passar sobre sua cabeça e ouvi-lo?
A partir daqui começamos a calcular passo a passo.
Passo 2
Entendendo a fórmula da velocidade do som e calculando o valor de
.
- A fórmula é
. - O que significa cada símbolo?
-
: velocidade do som no ar (m/s). -
: razão dos calores específicos (adiabático) do ar, adimensional ( ). -
: constante universal dos gases, . -
: temperatura absoluta em kelvin (K). -
: massa molar do ar em kg/mol ( ).
-
- O que significa cada símbolo?
- Unidade e raciocínio: dentro da raiz temos
, logo a raiz dá m/s, coerente.
Agora aplicamos os números.
Passo 3
Cálculo numérico de
.
- Primeiro calcule
: Vamos fazer devagar: Agora multiplica por : - Agora divide por
: - Finalmente,
Portanto a velocidade do som nas condições dadas é aproximadamente
Passo 4
Calcular a velocidade do avião relativa ao ar (Mach) usando
.
- Fórmula:
- Substituindo:
Portanto a velocidade do avião relativa ao ar é
Passo 5
Converter para a velocidade em relação ao solo, considerando o vento.
- Relação entre velocidades vetoriais: velocidade do avião em relação ao solo é a velocidade do avião em relação ao ar somada à velocidade do ar em relação ao solo:
- Aqui o vento tem sentido oposto ao do avião, com módulo
. Tomando como positivo o sentido do movimento do avião, o vento contribui com . - Portanto, em módulo (já que tudo é unidimensional neste problema):
- Substituindo:
- Se quiser em km/h:
Então a velocidade do avião em relação ao solo é aproximadamente
(≈
).
Passo 6
Entender e calcular o tempo entre ver o avião passar sobre a cabeça e ouvi-lo.
- Quando o observador vê o avião passando sobre a cabeça, a luz chega praticamente instantaneamente (velocidade da luz enorme). O som emitido naquele instante percorre a distância vertical até o observador.
- Importante: o problema do vento aqui — o vento é horizontal (sentido oposto ao avião). O som que vai do avião até o observador abaixo segue essencialmente uma trajetória vertical. A componente do vento na direção vertical é zero, portanto a velocidade de propagação vertical do som, em relação ao solo, é praticamente igual a
(a componente do vento que pode afetar a velocidade efetiva seria a componente na direção do trajeto do som; aqui essa componente é nula). - Assim o tempo entre ver e ouvir é simplesmente o tempo que o som leva para percorrer a altura
à velocidade :
Passo 7
Cálculo numérico do tempo
.
- Substituindo os valores:
- Arredondando razoavelmente:
Portanto o observador ouvirá o avião cerca de
segundos depois de vê‑lo passar sobre a cabeça.
Resposta
(a)
.
(b)
(b)