Um avião sobrevoa uma cidade a uma altitude de 3 km e a uma velocidade v igual a 1,35 vezes a velocidade do som. A temperatura do ar é de 303 K e o vento está num sentido oposto ao do avião e com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) Qual é a velocidade do avião?
(b) Para um observador no solo, qual é o tempo decorrido entre ver o avião passar sobre sua cabeça e ouvilo?
Sugestão: Considere que a velocidade do som no ar é dada por \sqrt{\frac{k R T}{M}}, onde k=1,40 é uma constante, R=8,314 \mathrm{~J} /( mol.K ) é a constante universal dos gases e M=29 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} / \mathrm{mol} é a massa molecular do ar.

Passo 1

Vamos organizar certinho o que o enunciado dá e o que ele pede, para não nos perdermos no desespero (tô contigo!).
  • Dados do enunciado:
    • Altitude do avião: \;3\\ \text{km} = 3000\\ \text{m}.
    • A velocidade do avião em relação ao ar é \;v = 1{,}35 vezes a velocidade do som.
    • Temperatura do ar: \;T = 303\\ \text{K}.
    • Vento: sentido oposto ao do avião, com velocidade \;10\\ \text{m/s}.
    • Fórmula sugerida para a velocidade do som: c = \sqrt{\frac{k R T}{M}}com k=1{,}40,\; R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\; M=29\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a velocidade do avião? (nota: o enunciado deu v=1{,}35 vezes a velocidade do som — isso é a velocidade do avião relativa ao ar; como tem vento, vou calcular também a velocidade relativa ao solo, que é o que um observador normalmente interpreta.)
    (b) Para um observador no solo, qual é o tempo decorrido entre ver o avião passar sobre sua cabeça e ouvi-lo?
A partir daqui começamos a calcular passo a passo.

Passo 2

Entendendo a fórmula da velocidade do som e calculando o valor de c.
  • A fórmula é \;c = \sqrt{\dfrac{k R T}{M}}.
    • O que significa cada símbolo?
      • c: velocidade do som no ar (m/s).
      • k: razão dos calores específicos (adiabático) do ar, adimensional ( k=1{,}40).
      • R: constante universal dos gases, 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
      • T: temperatura absoluta em kelvin (K).
      • M: massa molar do ar em kg/mol ( 29\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}).
  • Unidade e raciocínio: dentro da raiz temos \dfrac{\text{J/mol}}{\text{kg/mol}}=\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}=\dfrac{\text{m}^2}{\text{s}^2}, logo a raiz dá m/s, coerente.
Agora aplicamos os números.

Passo 3

Cálculo numérico de c.
  • Primeiro calcule k R T: k R T = 1{,}40 \times 8{,}314 \times 303.Vamos fazer devagar: 8{,}314\times303 = 8{,}314\times(300+3)=8{,}314\times300 + 8{,}314\times3 = 2494{,}2 + 24{,}942 = 2519{,}142.Agora multiplica por 1{,}40: k R T = 1{,}40 \times 2519{,}142 = 3526{,}7988\\ (\text{aprox.}).
  • Agora divide por M=29\times10^{-3}=0{,}029: \frac{kRT}{M} = \frac{3526{,}7988}{0{,}029} \approx 121613{,}75.
  • Finalmente, c = \sqrt{121613{,}75} \approx 348{,}74\\ \text{m/s}.
Portanto a velocidade do som nas condições dadas é aproximadamente \;c \approx 348{,}7\\ \text{m/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade do avião relativa ao ar (Mach) usando v=1{,}35\,c.
  • Fórmula: v_{\text{ar}} = 1{,}35\;c.
  • Substituindo: v_{\text{ar}} = 1{,}35\times 348{,}74 \approx 470{,}80\\ \text{m/s}.
Portanto a velocidade do avião relativa ao ar é \;v_{\text{ar}}\approx 470{,}8\\ \text{m/s}.

Passo 5

Converter para a velocidade em relação ao solo, considerando o vento.
  • Relação entre velocidades vetoriais: velocidade do avião em relação ao solo é a velocidade do avião em relação ao ar somada à velocidade do ar em relação ao solo: \vec v_{\text{solo}} = \vec v_{\text{ar}} + \vec v_{\text{ar/solo}}.
  • Aqui o vento tem sentido oposto ao do avião, com módulo 10\\ \text{m/s}. Tomando como positivo o sentido do movimento do avião, o vento contribui com -10\\ \text{m/s}.
  • Portanto, em módulo (já que tudo é unidimensional neste problema): v_{\text{solo}} = v_{\text{ar}} - 10.
  • Substituindo: v_{\text{solo}} = 470{,}80 - 10 = 460{,}80\\ \text{m/s}.
  • Se quiser em km/h: v_{\text{solo}} = 460{,}80\times 3{,}6 \approx 1658{,}9\\ \text{km/h}.
Então a velocidade do avião em relação ao solo é aproximadamente \;460{,}8\\ \text{m/s} (≈ 1658{,}9\\ \text{km/h}).

Passo 6

Entender e calcular o tempo entre ver o avião passar sobre a cabeça e ouvi-lo.
  • Quando o observador vê o avião passando sobre a cabeça, a luz chega praticamente instantaneamente (velocidade da luz enorme). O som emitido naquele instante percorre a distância vertical até o observador.
  • Importante: o problema do vento aqui — o vento é horizontal (sentido oposto ao avião). O som que vai do avião até o observador abaixo segue essencialmente uma trajetória vertical. A componente do vento na direção vertical é zero, portanto a velocidade de propagação vertical do som, em relação ao solo, é praticamente igual a c (a componente do vento que pode afetar a velocidade efetiva seria a componente na direção do trajeto do som; aqui essa componente é nula).
  • Assim o tempo entre ver e ouvir é simplesmente o tempo que o som leva para percorrer a altura h=3000\\ \text{m} à velocidade c: t = \frac{h}{c}.

Passo 7

Cálculo numérico do tempo t.
  • Substituindo os valores: t = \frac{3000}{348{,}74} \approx 8{,}598\\ \text{s}.
  • Arredondando razoavelmente: t \approx 8{,}60\\ \text{s}.
Portanto o observador ouvirá o avião cerca de 8{,}6 segundos depois de vê‑lo passar sobre a cabeça.

Resposta

(a) v_{\text{solo}}\approx 460{,}8\\ \text{m/s} (\approx 1658{,}9\\ \text{km/h}).
(b) t\approx 8{,}6\\ \text{s}.

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