Um trem de L=100 \mathrm{~m} (em repouso) passa por uma estação a v=0.9 c. Calcule o tempo que o trem leva para passar completamente pela estação, do ponto de vista da estação e do trem.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento do trem em seu próprio referencial (em repouso): L=100\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade do trem relativa à estação: v=0,9\,c.
    • Você pode usar c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} se precisar de valores numéricos.
  • O que é pedido:
    1. Calcular o tempo que o trem leva para passar completamente pela estação do ponto de vista da estação.
    2. Calcular o tempo que o trem leva para passar completamente pela estação do ponto de vista do trem.
Observação: por “passar completamente pela estação” vamos entender o tempo entre o instante em que a frente do trem passa por um ponto fixo da estação e o instante em que a traseira do trem passa por esse mesmo ponto.

Passo 2

Explicação física mínima necessária (sem resolver ainda): em relatividade especial existem dois efeitos úteis aqui:
  • Contração de comprimentos: um objeto com comprimento próprio L medido no referencial em que o objeto está em repouso tem comprimento contraído L_{\text{mov}} num referencial onde o objeto se move com velocidade v. A fórmula é
L_{\text{mov}}=\frac{L}{\gamma},
onde
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}
é o fator de Lorentz. Vou explicar cada símbolo: L é o comprimento próprio (aqui 100\\ \mathrm{m}), L_{\text{mov}} é o comprimento medido no referencial onde o trem se move (referencial da estação), v é a velocidade relativa e c é a velocidade da luz.
  • Transformação de tempos entre referenciais: se dois eventos ocorrem no mesmo ponto de um referencial (por exemplo, a passagem da frente e da traseira pelo mesmo ponto da estação), o intervalo de tempo medido nesse referencial é o tempo próprio entre esses eventos; em outro referencial o intervalo de tempo será maior e dado por multiplicação por \gamma. Matemáticamente, a transformação simplificada para dois eventos com \Delta x=0 é
\Delta t'=\gamma\,\Delta t,
onde \Delta t é o tempo no referencial onde os eventos ocorrem no mesmo lugar e \Delta t' é o tempo no outro referencial.

Passo 3

Cálculo do fator \gamma para v=0,9\,c.
Usamos a fórmula
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}.
Substituindo \dfrac{v}{c}=0,9 obtemos
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(0,9)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0,81}}=\frac{1}{\sqrt{0,19}}\approx 2{,}294.

Passo 4

Tempo medido pela estação (referencial da estação).
No referencial da estação o trem está se movendo com velocidade v e tem comprimento contraído
L_{\text{est}}=\frac{L}{\gamma}.
O tempo que leva para o trem passar por um ponto fixo da estação (entre frente passar por esse ponto e traseira passar por esse mesmo ponto) é simplesmente
\Delta t_{\text{est}}=\frac{L_{\text{est}}}{v}=\frac{L}{\gamma\,v}.
Agora substituímos numericamente: L=100\\ \mathrm{m}, v=0,9\,c=0,9\cdot 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}=2{,}7\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e \gamma\approx2{,}294. Primeiro o comprimento contraído:
L_{\text{est}}=\frac{100\\ \mathrm{m}}{2{,}294}\approx 43{,}6\\ \mathrm{m}.
Agora o tempo:
\Delta t_{\text{est}}=\frac{43{,}6\\ \mathrm{m}}{2{,}7\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}\approx 1{,}615\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.
Vou escrever o valor arredondado de forma conveniente:
\Delta t_{\text{est}}\approx 1{,}61\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Tempo medido no trem (referencial do trem).
No referencial do trem o trem está em repouso e a estação é que se move para trás com velocidade v. O comprimento do trem no seu próprio referencial é o comprimento próprio L (não há contração nesse referencial). O tempo entre a estação estar alinhada com a frente do trem e depois alinhada com a traseira é simplesmente o tempo que a estação, movendo-se com velocidade v, leva para percorrer a distância L. Portanto:
\Delta t_{\text{trem}}=\frac{L}{v}.
Substituindo numericamente L=100\\ \mathrm{m} e v=2{,}7\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
\Delta t_{\text{trem}}=\frac{100\\ \mathrm{m}}{2{,}7\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}\approx 3{,}704\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.
Arredondando:
\Delta t_{\text{trem}}\approx 3{,}70\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Verificação com a transformação temporal e interpretação física (intuição que ajuda na prova):
Os dois eventos considerados são:
  • Evento A: frente do trem passa pela estação.
  • Evento B: traseira do trem passa pela estação.
No referencial da estação esses dois eventos ocorrem no mesmo ponto espacial (o ponto da estação), portanto no referencial da estação o tempo entre A e B é o tempo próprio entre esses eventos. Assim qualquer outro referencial verá um intervalo de tempo maior: \Delta t_{\text{trem}}=\gamma\,\Delta t_{\text{est}}. Checando com os valores calculados:
\Delta t_{\text{trem}}\approx 2{,}294\cdot 1{,}615\times10^{-7}\\ \mathrm{s}\approx 3{,}704\times10^{-7}\\ \mathrm{s},
o que confere com o resultado direto do passo anterior. Isso confirma consistência física e matemática.

Resposta

\Delta t_{\text{est}} \approx 1{,}61\times10^{-7}\\ \mathrm{s}
\Delta t_{\text{trem}} \approx 3{,}70\times10^{-7}\\ \mathrm{s}

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