Um trem de
(em repouso) passa por uma estação a
. Calcule o tempo que o trem leva para passar completamente pela estação, do ponto de vista da estação e do trem.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
-
Dados fornecidos:
- Comprimento do trem em seu próprio referencial (em repouso):
. - Velocidade do trem relativa à estação:
. - Você pode usar
se precisar de valores numéricos.
- Comprimento do trem em seu próprio referencial (em repouso):
-
O que é pedido:
- Calcular o tempo que o trem leva para passar completamente pela estação do ponto de vista da estação.
- Calcular o tempo que o trem leva para passar completamente pela estação do ponto de vista do trem.
Observação: por “passar completamente pela estação” vamos entender o tempo entre o instante em que a frente do trem passa por um ponto fixo da estação e o instante em que a traseira do trem passa por esse mesmo ponto.
Passo 2
Explicação física mínima necessária (sem resolver ainda): em relatividade especial existem dois efeitos úteis aqui:
- Contração de comprimentos: um objeto com comprimento próprio
medido no referencial em que o objeto está em repouso tem comprimento contraído num referencial onde o objeto se move com velocidade . A fórmula é
onde
é o fator de Lorentz. Vou explicar cada símbolo:
é o comprimento próprio (aqui
),
é o comprimento medido no referencial onde o trem se move (referencial da estação),
é a velocidade relativa e
é a velocidade da luz.
- Transformação de tempos entre referenciais: se dois eventos ocorrem no mesmo ponto de um referencial (por exemplo, a passagem da frente e da traseira pelo mesmo ponto da estação), o intervalo de tempo medido nesse referencial é o tempo próprio entre esses eventos; em outro referencial o intervalo de tempo será maior e dado por multiplicação por
. Matemáticamente, a transformação simplificada para dois eventos com é
onde
é o tempo no referencial onde os eventos ocorrem no mesmo lugar e
é o tempo no outro referencial.
Passo 3
Cálculo do fator
para
.
Usamos a fórmula
Substituindo
obtemos
Passo 4
Tempo medido pela estação (referencial da estação).
No referencial da estação o trem está se movendo com velocidade
e tem comprimento contraído
O tempo que leva para o trem passar por um ponto fixo da estação (entre frente passar por esse ponto e traseira passar por esse mesmo ponto) é simplesmente
Agora substituímos numericamente:
,
e
. Primeiro o comprimento contraído:
Agora o tempo:
Vou escrever o valor arredondado de forma conveniente:
Passo 5
Tempo medido no trem (referencial do trem).
No referencial do trem o trem está em repouso e a estação é que se move para trás com velocidade
. O comprimento do trem no seu próprio referencial é o comprimento próprio
(não há contração nesse referencial). O tempo entre a estação estar alinhada com a frente do trem e depois alinhada com a traseira é simplesmente o tempo que a estação, movendo-se com velocidade
, leva para percorrer a distância
. Portanto:
Substituindo numericamente
e
:
Arredondando:
Passo 6
Verificação com a transformação temporal e interpretação física (intuição que ajuda na prova):
Os dois eventos considerados são:
- Evento A: frente do trem passa pela estação.
- Evento B: traseira do trem passa pela estação.
No referencial da estação esses dois eventos ocorrem no mesmo ponto espacial (o ponto da estação), portanto no referencial da estação o tempo entre A e B é o tempo próprio entre esses eventos. Assim qualquer outro referencial verá um intervalo de tempo maior:
. Checando com os valores calculados:
o que confere com o resultado direto do passo anterior. Isso confirma consistência física e matemática.