Uma partícula move-se a u_{x}=0.4 c \mathrm{em} \mathrm{S}. \mathrm{S'} move-se a v=0.3 c relativa a S . Calcule a velocidade u_{x}^{\prime} em S ’ usando a fórmula relativística.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a velocidade da partícula medida no referencial S' (denotada u_{x}'), sabendo que:
  • No referencial S a partícula tem velocidade u_{x}=0{,}4\,c.
  • O referencial S' move-se em relação a S com velocidade v=0{,}3\,c.
    Portanto a pergunta é: qual é u_{x}' em S', usando a fórmula relativística de transformação de velocidades.

Passo 2

Vou deduzir a fórmula relativística para transformar velocidades na direção x. Começo das transformações de Lorentz para coordenadas espaço-tempo (essas fórmulas relacionam as coordenadas x,t em S com x',t' em S'):
x'=\gamma\,(x-vt)
t'=\gamma\!\left(t-\frac{v\,x}{c^{2}}\right)
onde \gamma é o fator de Lorentz definido por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Agora a velocidade no referencial S' é a derivada espacial temporal nesse referencial:
u_{x}'=\frac{dx'}{dt'}.
Derivando as expressões acima (ou vendo dx' e dt' infinitesimais) obtemos
dx'=\gamma\,(dx-v\,dt)
dt'=\gamma\!\left(dt-\frac{v\,dx}{c^{2}}\right).
Dividindo dx' por dt' (o \gamma cancela) obtemos a fórmula de transformação de velocidades na direção x:
u_{x}'=\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx/dt-v}{1-\dfrac{v}{c^{2}}\,dx/dt}=\frac{u_{x}-v}{1-\dfrac{v\,u_{x}}{c^{2}}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • u_{x}: velocidade da partícula medida em S (na direção x).
  • v: velocidade do referencial S' em relação a S.
  • c: velocidade da luz.
  • u_{x}': velocidade da partícula medida em S'.

Passo 3

Agora uso a fórmula com os valores dados. Substituo u_{x}=0{,}4\,c e v=0{,}3\,c em
u_{x}'=\frac{u_{x}-v}{1-\dfrac{v\,u_{x}}{c^{2}}}.
Fazendo a substituição explícita:
u_{x}'=\frac{0{,}4\,c-0{,}3\,c}{1-\dfrac{(0{,}3\,c)(0{,}4\,c)}{c^{2}}}.

Passo 4

Simplifico numerador e denominador passo a passo. No numerador:
0{,}4\,c-0{,}3\,c=0{,}1\,c.
No denominador, observo que os c cancelam quando multiplicados:
1-\dfrac{(0{,}3\,c)(0{,}4\,c)}{c^{2}}=1-0{,}3\cdot 0{,}4=1-0{,}12=0{,}88.
Portanto
u_{x}'=\frac{0{,}1\,c}{0{,}88}.
Posso transformar em fração exata: 0{,}1/0{,}88=\dfrac{0{,}1}{0{,}88}=\dfrac{10}{88}=\dfrac{5}{44}. Logo
u_{x}'=\frac{5}{44}\,c.

Passo 5

Calculo a aproximação decimal para ter uma noção numérica:
\frac{5}{44}\approx 0{,}113636\ldots
ou seja
u_{x}'\approx 0{,}1136\,c.
Interpretação rápida: a velocidade relativa diminuiu quando visto de S', e o resultado está bem abaixo de c como esperado. No limite não relativístico (velocidades muito menores que c) a fórmula tende à subtração simples u_{x}'\approx u_{x}-v, aqui 0{,}4c-0{,}3c=0{,}1c, e a correção relativística fez com que o valor final fosse \approx 0{,}1136c (note que neste caso a diferença aparece no denominador e modifica levemente o resultado).

Resposta

u_{x}'=\dfrac{5}{44}\,c\approx 0{,}113636\,c

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