Uma partícula move-se a
move-se a
relativa a S . Calcule a velocidade
em S ’ usando a fórmula relativística.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a velocidade da partícula medida no referencial
(denotada
), sabendo que:
- No referencial
a partícula tem velocidade . - O referencial
move-se em relação a com velocidade .
Portanto a pergunta é: qual éem , usando a fórmula relativística de transformação de velocidades.
Passo 2
Vou deduzir a fórmula relativística para transformar velocidades na direção
. Começo das transformações de Lorentz para coordenadas espaço-tempo (essas fórmulas relacionam as coordenadas
em
com
em
):
onde
é o fator de Lorentz definido por
Agora a velocidade no referencial
é a derivada espacial temporal nesse referencial:
Derivando as expressões acima (ou vendo
e
infinitesimais) obtemos
Dividindo
por
(o
cancela) obtemos a fórmula de transformação de velocidades na direção
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: velocidade da partícula medida em (na direção ). -
: velocidade do referencial em relação a . -
: velocidade da luz. -
: velocidade da partícula medida em .
Passo 3
Agora uso a fórmula com os valores dados. Substituo
e
em
Fazendo a substituição explícita:
Passo 4
Simplifico numerador e denominador passo a passo. No numerador:
No denominador, observo que os
cancelam quando multiplicados:
Portanto
Posso transformar em fração exata:
. Logo
Passo 5
Calculo a aproximação decimal para ter uma noção numérica:
ou seja
Interpretação rápida: a velocidade relativa diminuiu quando visto de
, e o resultado está bem abaixo de
como esperado. No limite não relativístico (velocidades muito menores que
) a fórmula tende à subtração simples
, aqui
, e a correção relativística fez com que o valor final fosse
(note que neste caso a diferença aparece no denominador e modifica levemente o resultado).