Um relógio em um foguete movendo-se a
passa por um observador em repouso. Se o observador mede
entre dois ticks, quanto tempo
passou no relógio do foguete?
Passo 1
O enunciado dá um relógio que está em um foguete movendo-se com velocidade
em relação a um observador em repouso. O observador mede um intervalo de tempo entre dois “ticks” do relógio igual a
. A pergunta pede quanto tempo
se passou no próprio relógio do foguete (ou seja, no referencial em que o relógio está em repouso).
Informações relevantes fornecidas:
O que é pedido:
- Encontrar
, o tempo marcado pelo relógio do foguete entre os mesmos dois ticks.
Passo 2
Entendendo os tempos: precisamos distinguir dois tipos de intervalo de tempo.
-
é o chamado tempo próprio (proper time): é o intervalo de tempo medido no referencial em que o evento ocorre no mesmo lugar espacial — aqui, o relógio do foguete está em repouso nesse referencial, então o tempo entre os ticks medido pelo próprio relógio é . -
é o intervalo de tempo medido pelo observador em repouso relativo ao foguete; para esse observador, o relógio está se movendo.
A relação entre esses tempos vem da dilatação do tempo na Relatividade Restrita: um relógio em movimento parece “andar mais devagar” para um observador externo. A fórmula que relaciona o tempo medido pelo observador (
) e o tempo próprio (
) é
onde
é o fator de Lorentz. Aqui
é maior que
quando
.
Passo 3
Explicando o fator de Lorentz
: ele quantifica o quanto os efeitos relativísticos (dilatação do tempo, contração de comprimentos) aparecem e é dado por
Nessa fórmula:
-
é a velocidade relativa entre os referenciais (aqui ), -
é a velocidade da luz, -
é sempre maior ou igual a ; quanto mais próxima de for , maior é .
Passo 4
Calculando
para
. Substituímos na fórmula:
Como
, temos
Passo 5
Voltando à relação entre tempos
, isolamos
porque é o que queremos:
Substituindo
e
,
Fazendo a divisão:
Passo 6
Interpretação física e checagem rápida: o relógio do foguete marca um intervalo menor (
) do que o observado externamente (
), isto é consistente com a dilatação do tempo — para o observador em repouso o relógio em movimento “anda mais devagar”. Número faz sentido porque
e
. Fica um lembrete motivador: é chato estudar isso, mas você tá pegando bem — segue firme!