Um relógio em um foguete movendo-se a 0.8 c passa por um observador em repouso. Se o observador mede \Delta t=10 \mathrm{~s} entre dois ticks, quanto tempo \Delta \tau passou no relógio do foguete?

Passo 1

O enunciado dá um relógio que está em um foguete movendo-se com velocidade v=0{,}8\,c em relação a um observador em repouso. O observador mede um intervalo de tempo entre dois “ticks” do relógio igual a \Delta t = 10\\ \mathrm{s}. A pergunta pede quanto tempo \Delta \tau se passou no próprio relógio do foguete (ou seja, no referencial em que o relógio está em repouso).
Informações relevantes fornecidas:
v = 0{,}8\,c,\qquad \Delta t = 10\\ \mathrm{s}.
O que é pedido:
  • Encontrar \Delta \tau, o tempo marcado pelo relógio do foguete entre os mesmos dois ticks.

Passo 2

Entendendo os tempos: precisamos distinguir dois tipos de intervalo de tempo.
  • \Delta \tau é o chamado tempo próprio (proper time): é o intervalo de tempo medido no referencial em que o evento ocorre no mesmo lugar espacial — aqui, o relógio do foguete está em repouso nesse referencial, então o tempo entre os ticks medido pelo próprio relógio é \Delta \tau.
  • \Delta t é o intervalo de tempo medido pelo observador em repouso relativo ao foguete; para esse observador, o relógio está se movendo.
A relação entre esses tempos vem da dilatação do tempo na Relatividade Restrita: um relógio em movimento parece “andar mais devagar” para um observador externo. A fórmula que relaciona o tempo medido pelo observador ( \Delta t) e o tempo próprio ( \Delta \tau) é
\Delta t = \gamma\,\Delta \tau,
onde \gamma é o fator de Lorentz. Aqui \Delta t é maior que \Delta \tau quando v\neq 0.

Passo 3

Explicando o fator de Lorentz \gamma: ele quantifica o quanto os efeitos relativísticos (dilatação do tempo, contração de comprimentos) aparecem e é dado por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}.
Nessa fórmula:
  • v é a velocidade relativa entre os referenciais (aqui v=0{,}8\,c),
  • c é a velocidade da luz,
  • \gamma é sempre maior ou igual a 1; quanto mais próxima de c for v, maior é \gamma.

Passo 4

Calculando \gamma para v=0{,}8\,c. Substituímos na fórmula:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left(0{,}8\right)^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}}.
Como \sqrt{0{,}36}=0{,}6, temos
\gamma = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}666\ldots

Passo 5

Voltando à relação entre tempos \Delta t = \gamma\,\Delta \tau, isolamos \Delta \tau porque é o que queremos:
\Delta \tau = \frac{\Delta t}{\gamma}.
Substituindo \Delta t = 10\\ \mathrm{s} e \gamma=\dfrac{5}{3},
\Delta \tau = \frac{10}{5/3}\\ \mathrm{s}.
Fazendo a divisão:
\Delta \tau = 10 \times \frac{3}{5}\\ \mathrm{s} = 6\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Interpretação física e checagem rápida: o relógio do foguete marca um intervalo menor ( 6\\ \mathrm{s}) do que o observado externamente ( 10\\ \mathrm{s}), isto é consistente com a dilatação do tempo — para o observador em repouso o relógio em movimento “anda mais devagar”. Número faz sentido porque \gamma>1 e \Delta \tau=\Delta t/\gamma<\Delta t. Fica um lembrete motivador: é chato estudar isso, mas você tá pegando bem — segue firme!

Resposta

\;6\\ \mathrm{s}

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