Um trem percorre 200 m em 20 s durante a freagem. Admitindo que a aceleração fornecida pelos freios seja constante, determine, em módulo:
a. a velocidade no início da freagem;
b. a aceleração.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações fornecidas:
\text{distância percorrida } s = 200\\ \text{m},â
\text{tempo de frenagem } t = 20\\ \text{s},
a frenagem ocorre com aceleração constante (ou seja, aceleração uniforme durante o intervalo).
Perguntas:
a. Determinar, em módulo, a velocidade no início da freagem (ou seja, o valor de v_0).
b. Determinar, em módulo, a aceleração fornecida pelos freios (ou seja, o valor de a em módulo).
Observação importante (implicada pelo enunciado): como o enunciado fala em “freagem” e dá a distância percorrida durante o processo de frenagem, vamos considerar que ao final desses 20\\ \text{s} o trem parou. Ou seja, a velocidade final é
v = 0.

Passo 2

Apresentando a ideia física e a fórmula que vamos usar. Para movimento com aceleração constante há duas fórmulas úteis e simples:
  1. A posição (deslocamento) em função do tempo:
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde \,s é o deslocamento total no intervalo considerado, \,v_0 é a velocidade inicial, \,a é a aceleração (pode ser negativa em frenagem) e \,t é o intervalo de tempo.
  1. A velocidade final em função da inicial:
v = v_0 + a t.
Outra relação muito conveniente (derivada das anteriores) é que, para aceleração constante, a velocidade média no intervalo é a média aritmética da velocidade inicial e da velocidade final:
v_{\text{média}} = \tfrac{v_0 + v}{2}.é
Como deslocamento é velocidade média vezes tempo, temos também
s = v_{\text{média}}\,t = \tfrac{v_0 + v}{2}\,t.é
Vou usar esta última relação porque com v=0 ela fica muito simples.

Passo 3

Aplicando a relação do passo anterior com v=0. Substituímos v=0 em
s = \tfrac{v_0 + v}{2}\,t
para obter
s = \tfrac{v_0 + 0}{2}\,t = \tfrac{v_0}{2}\,t.
Agora isolamos v_0. Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por t obtemos
v_0 = \frac{2s}{t}.

Passo 4

Calculando numericamente v_0 com os dados s=200\\ \text{m} e t=20\\ \text{s}:
v_0 = \frac{2\cdot 200}{20} = \frac{400}{20} = 20.
Portanto a velocidade inicial vale
v_0 = 20\\ \text{m/s}.
(Dica útil para a prova: se quiser visualizar em km/h, multiplica por 3{,}6: 20\cdot 3{,}6 = 72\\ \text{km/h}.)

Passo 5

Agora vamos achar a aceleração. Usamos a fórmula de velocidade final:
v = v_0 + a t.
Com v=0 e isolando a:
a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{0 - v_0}{t} = -\frac{v_0}{t}.
O sinal negativo indica que é desaceleração. Como o enunciado pediu os valores “em módulo”, tomamos o módulo (valor absoluto) de a:
|a| = \frac{v_0}{t}.

Passo 6

Substituímos v_0=20\\ \text{m/s} e t=20\\ \text{s}:
|a| = \frac{20}{20} = 1.
Portanto
|a| = 1\\ \text{m/s}^2.

Passo 7

Checagem rápida (para garantir que não erramos): usando v_0=20\\ \text{m/s} e a=-1\\ \text{m/s}^2 na fórmula
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
temos
s = 20\cdot 20 + \tfrac{1}{2}\cdot(-1)\cdot 20^2 = 400 - \tfrac{1}{2}\cdot 400 = 400 - 200 = 200\\ \text{m},
que coincide com o dado do enunciado. Tudo consistente.

Resposta

a) v_0 = 20\\ \text{m/s}
b) |a| = 1\\ \text{m/s}^2

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