Um corpo é lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial \mathrm{V}_{0}=100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, numa direção que forma com a horizontal um ângulo \theta tal que \operatorname{sen} \theta= 0,8 e \cos \theta=0,6 adotando \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e despreze a resistência do ar, determine:
A) Os módulos das componentes horizontal e vertical da velocidade no instante de lançamento;
B)O instante que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetória;
C) a altura máxima atingida pelo corpo;
D) o alcance do lançamento;

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
\mathrm{V}_{0}=100\\ \mathrm{m/s}, \operatorname{sen}\theta=0,8, \cos\theta=0,6, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}. Desprezamos resistência do ar.
Perguntas:
A) Módulos das componentes horizontal e vertical da velocidade no instante de lançamento.
B) Instante em que o corpo atinge o ponto mais alto da trajetória.
C) Altura máxima atingida pelo corpo.
D) Alcance horizontal do lançamento.

Passo 2

Primeiro conceito importante — decomposição da velocidade inicial: qualquer velocidade inicial \mathrm{V}_{0} lançada com ângulo \theta tem componentes
\mathrm{V}_{x0}=\mathrm{V}_{0}\cos\theta (horizontal) e \mathrm{V}_{y0}=\mathrm{V}_{0}\operatorname{sen}\theta (vertical). Aqui:
\mathrm{V}_{0}=100\\ \mathrm{m/s}, \cos\theta=0,6, \operatorname{sen}\theta=0,8. Calculamos cada componente substituindo direto na fórmula:
\mathrm{V}_{x0}=\mathrm{V}_{0}\cos\theta
\mathrm{V}_{y0}=\mathrm{V}_{0}\operatorname{sen}\theta
Agora fazemos as contas:
\mathrm{V}_{x0}=100\cdot 0,6=60\\ \mathrm{m/s}.
\mathrm{V}_{y0}=100\cdot 0,8=80\\ \mathrm{m/s}.
Esses são os módulos das componentes no instante de lançamento.

Passo 3

Para achar o instante em que o corpo atinge o ponto mais alto, usamos a equação da velocidade vertical no movimento uniformemente acelerado (aceleração = -g para cima positivo):
\mathrm{V}_{y}(t)=\mathrm{V}_{y0}-g\,t
No ponto mais alto a velocidade vertical é zero, ou seja \mathrm{V}_{y}(t_{\text{topo}})=0. Então:
0=\mathrm{V}_{y0}-g\,t_{\text{topo}}
Resolvendo para t_{\text{topo}}:
t_{\text{topo}}=\frac{\mathrm{V}_{y0}}{g}
Substituindo \mathrm{V}_{y0}=80\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
t_{\text{topo}}=\frac{80}{10}=8\\ \mathrm{s}

Passo 4

Agora vamos calcular a altura máxima. Duas maneiras equivalentes — eu mostro as duas porque é bom aprender os dois jeitos.
Método 1 (usando equação da energia cinética/queda de velocidade):
\mathrm{V}_{y}^{2}=\mathrm{V}_{y0}^{2}-2g\Delta y
No topo \mathrm{V}_{y}=0, logo
0=\mathrm{V}_{y0}^{2}-2g\,h_{\max}
h_{\max}=\frac{\mathrm{V}_{y0}^{2}}{2g}
Substituindo \mathrm{V}_{y0}=80\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
h_{\max}=\frac{80^{2}}{2\cdot 10}=\frac{6400}{20}=320\\ \mathrm{m}
Método 2 (usando equação do deslocamento vertical no tempo do topo): posição vertical
y(t)=\mathrm{V}_{y0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}
usar t=t_{\text{topo}}=8\\ \mathrm{s}:
y(8)=80\cdot 8-\tfrac{1}{2}\cdot 10\cdot 8^{2}=640-320=320\\ \mathrm{m}
Confere com o método 1.

Passo 5

Para achar o alcance (distância horizontal percorrida até tocar o solo), precisamos do tempo total de voo T. Em lançamento e pouso no mesmo nível, o tempo total é o dobro do tempo para o ponto mais alto (simetria da trajetória parabólica), então:
T=2\,t_{\text{topo}}=2\cdot 8=16\\ \mathrm{s}
Alternativamente, resolvendo 0=\mathrm{V}_{y0}T-\tfrac{1}{2}gT^{2} T=0 (no lançamento) e T=2\mathrm{V}_{y0}/g, que é a mesma expressão.

Passo 6

Movimento horizontal tem velocidade constante \mathrm{V}_{x0} (porque desprezamos resistência do ar). Então alcance R é
R=\mathrm{V}_{x0}\,T
Substituindo \mathrm{V}_{x0}=60\\ \mathrm{m/s} e T=16\\ \mathrm{s}:
R=60\cdot 16=960\\ \mathrm{m}

Passo 7

Como verificação extra (útil para provas): existe uma fórmula direta do alcance em função de \mathrm{V}_{0} e \theta:
R=\frac{\mathrm{V}_{0}^{2}\operatorname{sen}(2\theta)}{g}
Aqui \operatorname{sen}(2\theta)=2\operatorname{sen}\theta\cos\theta=2\cdot 0,8\cdot 0,6=0,96. Então:
R=\frac{100^{2}\cdot 0,96}{10}=\frac{10000\cdot 0,96}{10}=960\\ \mathrm{m}
Confirma o valor obtido antes.

Resposta

A) \mathrm{V}_{x0}=60\\ \mathrm{m/s} \mathrm{e} \mathrm{V}_{y0}=80\\ \mathrm{m/s}
B) t_{\text{topo}}=8\\ \mathrm{s}
C) h_{\max}=320\\ \mathrm{m}
D) R=960\\ \mathrm{m}

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