Um projétil é lançado obliquamente com velocidade que forma com a horizontal um ângulo
, atingindo uma altura máxima de
. Sabendo que o ponto mais alto da trajetória a velocidade escalar do projétil é de
. Determine:
A) o intervalo de tempo que o projétil atinge o ponto mais alto da trajetória (tempo de subida);
B) o tempo total de movimento;
C) o alcance horizontal de lançamento.
A) o intervalo de tempo que o projétil atinge o ponto mais alto da trajetória (tempo de subida);
B) o tempo total de movimento;
C) o alcance horizontal de lançamento.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):
- Foi lançado um projétil obliquamente; o ponto mais alto da trajetória tem altura
. - No ponto mais alto a velocidade escalar do projétil é
. - Pedidos:
A) tempo de subida (intervalo de tempo até atingir o ponto mais alto);
B) tempo total do movimento (subida + descida);
C) alcance horizontal (distância horizontal percorrida desde o lançamento até o pouso). - Informação extra adotada (não dada explicitamente): adotamos a aceleração da gravidade como
(aproximação usual em muitos exercícios para facilitar contas; é uma escolha padrão quando g não é especificado).
Passo 2
Entendendo como usar a informação "velocidade no ponto mais alto é
".
Truque importante: decompomos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. A componente horizontal é e a vertical inicial é
. A componente horizontal é constante durante o movimento (não há aceleração horizontal, só vertical
). No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero, portanto a velocidade escalar no ponto mais alto é exatamente a componente horizontal. Logo:
Truque importante: decompomos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. A componente horizontal é
Aqui eu usei a informação do enunciado: "no ponto mais alto a velocidade escalar é
".
Passo 3
Relacionando a altura máxima com a componente vertical inicial.
A fórmula cinemática que relaciona velocidades e deslocamento vertical (usando eixo vertical positivo para cima) é
A fórmula cinemática que relaciona velocidades e deslocamento vertical (usando eixo vertical positivo para cima) é
onde
é a velocidade vertical final,
é a velocidade vertical inicial,
é a aceleração da gravidade e
é o deslocamento vertical. No ponto mais alto
e
. Assim obtemos a fórmula que usamos com frequência para altura máxima:
Aqui:
é a componente vertical inicial que queremos achar,
(dado) e
(adotado).
Passo 4
Calculando a componente vertical inicial
. Substituindo na fórmula do passo anterior:
Expliquei antes o que cada símbolo significa; aqui fiz a conta passo a passo:
e a raiz quadrada de
é
.
Passo 5
Calculando o tempo de subida
.
A equação da velocidade vertical em função do tempo é
A equação da velocidade vertical em função do tempo é
No ponto mais alto
, então
. Isolando
,
Substituindo
e
:
Esse é o tempo pedido no item A.
Passo 6
Calculando o tempo total de movimento.
Para um lançamento e pouso no mesmo nível (suposição usual neste tipo de questão), o tempo de descida é igual ao tempo de subida (simetria do movimento vertical sem resistência do ar). Então o tempo total é
Para um lançamento e pouso no mesmo nível (suposição usual neste tipo de questão), o tempo de descida é igual ao tempo de subida (simetria do movimento vertical sem resistência do ar). Então o tempo total
Esse é o item B.
Passo 7
Calculando o alcance horizontal
.
A componente horizontal da velocidade é constante e encontrada no passo 2: . O alcance horizontal é a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo total:
A componente horizontal da velocidade é constante e encontrada no passo 2:
Substituindo
e
:
Esse é o item C.
Passo 8
(síntese rápida e uma dica prática)
- Resumo mental para prova: ao ver “altura máxima” use
; ao ver “velocidade no topo” lembre que é a componente horizontal. Com essas duas informações você acha as componentes iniciais, daí tempo e alcance saem direto. - Se quiser, dá pra calcular também a velocidade inicial e o ângulo:
e . (Isso é só extra para quem gosta de fechar o problema.)
Resposta
A)
B)
C)
B)
C)