Um projétil é lançado obliquamente com velocidade que forma com a horizontal um ângulo \theta, atingindo uma altura máxima de 7,2 \mathrm{~m}. Sabendo que o ponto mais alto da trajetória a velocidade escalar do projétil é de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
A) o intervalo de tempo que o projétil atinge o ponto mais alto da trajetória (tempo de subida);
B) o tempo total de movimento;
C) o alcance horizontal de lançamento.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):
  • Foi lançado um projétil obliquamente; o ponto mais alto da trajetória tem altura 7,2\\ \mathrm{m}.
  • No ponto mais alto a velocidade escalar do projétil é 10\\ \mathrm{m/s}.
  • Pedidos:
    A) tempo de subida (intervalo de tempo até atingir o ponto mais alto);
    B) tempo total do movimento (subida + descida);
    C) alcance horizontal (distância horizontal percorrida desde o lançamento até o pouso).
  • Informação extra adotada (não dada explicitamente): adotamos a aceleração da gravidade como \;g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}\; (aproximação usual em muitos exercícios para facilitar contas; é uma escolha padrão quando g não é especificado).

Passo 2

Entendendo como usar a informação "velocidade no ponto mais alto é 10\\ \mathrm{m/s}".
Truque importante: decompomos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical. A componente horizontal é v_{x}=v_{0}\cos\theta e a vertical inicial é v_{y0}=v_{0}\sin\theta. A componente horizontal é constante durante o movimento (não há aceleração horizontal, só vertical -g). No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero, portanto a velocidade escalar no ponto mais alto é exatamente a componente horizontal. Logo:
v_{x}=10\\ \mathrm{m/s}.
Aqui eu usei a informação do enunciado: "no ponto mais alto a velocidade escalar é 10\\ \mathrm{m/s}".

Passo 3

Relacionando a altura máxima com a componente vertical inicial.
A fórmula cinemática que relaciona velocidades e deslocamento vertical (usando eixo vertical positivo para cima) é
v_{y}^{2}=v_{y0}^{2}-2g\Delta y,
onde v_{y} é a velocidade vertical final, v_{y0} é a velocidade vertical inicial, g é a aceleração da gravidade e \Delta y é o deslocamento vertical. No ponto mais alto v_{y}=0 e \Delta y=h_{\max}. Assim obtemos a fórmula que usamos com frequência para altura máxima:
0=v_{y0}^{2}-2g h_{\max}\quad\Longrightarrow\quad v_{y0}^{2}=2g h_{\max}.
Aqui: v_{y0} é a componente vertical inicial que queremos achar, h_{\max}=7,2\\ \mathrm{m} (dado) e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (adotado).

Passo 4

Calculando a componente vertical inicial v_{y0}. Substituindo na fórmula do passo anterior:
v_{y0}=\sqrt{2 g h_{\max}}=\sqrt{2\cdot 10\cdot 7,2}=\sqrt{144}=12\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei antes o que cada símbolo significa; aqui fiz a conta passo a passo: 2\cdot 10\cdot 7,2=144 e a raiz quadrada de 144 é 12.

Passo 5

Calculando o tempo de subida t_{\uparrow}.
A equação da velocidade vertical em função do tempo é
v_{y}(t)=v_{y0}-g t.
No ponto mais alto v_{y}=0, então 0=v_{y0}-g t_{\uparrow}. Isolando t_{\uparrow},
t_{\uparrow}=\frac{v_{y0}}{g}.
Substituindo v_{y0}=12\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
t_{\uparrow}=\frac{12}{10}=1,2\\ \mathrm{s}.
Esse é o tempo pedido no item A.

Passo 6

Calculando o tempo total de movimento.
Para um lançamento e pouso no mesmo nível (suposição usual neste tipo de questão), o tempo de descida é igual ao tempo de subida (simetria do movimento vertical sem resistência do ar). Então o tempo total T é
T=2\,t_{\uparrow}=2\cdot 1,2=2,4\\ \mathrm{s}.
Esse é o item B.

Passo 7

Calculando o alcance horizontal R.
A componente horizontal da velocidade é constante e encontrada no passo 2: v_{x}=10\\ \mathrm{m/s}. O alcance horizontal é a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo total:
R=v_{x}\,T.
Substituindo v_{x}=10\\ \mathrm{m/s} e T=2,4\\ \mathrm{s}:
R=10\cdot 2,4=24\\ \mathrm{m}.
Esse é o item C.

Passo 8

(síntese rápida e uma dica prática)
  • Resumo mental para prova: ao ver “altura máxima” use v_{y0}^{2}=2gh_{\max}; ao ver “velocidade no topo” lembre que é a componente horizontal. Com essas duas informações você acha as componentes iniciais, daí tempo e alcance saem direto.
  • Se quiser, dá pra calcular também a velocidade inicial e o ângulo: v_{0}=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y0}^{2}}=\sqrt{10^{2}+12^{2}}=\sqrt{244}\approx15,62\\ \mathrm{m/s} e \theta=\arctan\!\left(\dfrac{v_{y0}}{v_{x}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{12}{10}\right)\approx50,2^\circ. (Isso é só extra para quem gosta de fechar o problema.)

Resposta

A) 1,2\\ \mathrm{s}
B) 2,4\\ \mathrm{s}
C) 24\\ \mathrm{m}

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