Três campos vetoriais são dados por \vec{P}=2 \hat{x}-\hat{z} ; \vec{Q}=2 \hat{x}-\hat{y}+2 \hat{z} \mathrm{e} \vec{R}=2 \hat{x}-3 \hat{y}+\hat{z}. Determine:
\operatorname{sen}\left(\theta_{Q R}\right);

Passo 1

O enunciado dá três campos vetoriais e pede o seno do ângulo entre \vec{Q} e \vec{R}. Informações fornecidas:
  • \vec{P}=2\hat{x}-\hat{z} (não será usada aqui, está só listada).
  • \vec{Q}=2\hat{x}-\hat{y}+2\hat{z}. Ou seja, \vec{Q}=(2,\,-1,\,2).
  • \vec{R}=2\hat{x}-3\hat{y}+\hat{z}. Ou seja, \vec{R}=(2,\,-3,\,1).
    Pergunta: determinar \operatorname{sen}\!\left(\theta_{QR}\right), onde \theta_{QR} é o ângulo entre \vec{Q} e \vec{R}.

Passo 2

Decidindo o método (explicação didática e escolha): existem duas formas comuns de obter \sin(\theta) entre vetores:
  • Usando o produto escalar: primeiro calcula-se \cos\theta=\dfrac{\vec{Q}\cdot\vec{R}}{|\vec{Q}|\,|\vec{R}|} e depois \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}.
  • Usando o produto vetorial: vale a identidade \,|\vec{Q}\times\vec{R}|=|\vec{Q}|\,|\vec{R}|\,\sin\theta. Assim \sin\theta=\dfrac{|\vec{Q}\times\vec{R}|}{|\vec{Q}|\,|\vec{R}|}.
Vou usar o produto vetorial porque ele fornece \sin\theta diretamente e costuma dar contas mais diretas quando se pede o seno. Agora explico a fórmula do produto vetorial: dado \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z),
\vec{a}\times\vec{b}=(a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x).
O módulo é |\vec{a}\times\vec{b}|=\sqrt{(a_y b_z - a_z b_y)^2+(a_z b_x - a_x b_z)^2+(a_x b_y - a_y b_x)^2}.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \vec{Q}\times\vec{R}. Usando \vec{Q}=(2,\,-1,\,2) e \vec{R}=(2,\,-3,\,1):
(\vec{Q}\times\vec{R})_x = Q_y R_z - Q_z R_y = (-1)\cdot 1 - 2\cdot(-3) = -1 + 6 = 5,
(\vec{Q}\times\vec{R})_y = Q_z R_x - Q_x R_z = 2\cdot 2 - 2\cdot 1 = 4 - 2 = 2,
(\vec{Q}\times\vec{R})_z = Q_x R_y - Q_y R_x = 2\cdot(-3) - (-1)\cdot 2 = -6 + 2 = -4.
Portanto
\vec{Q}\times\vec{R}=(5,\;2,\;-4).

Passo 4

Calcular o módulo de \vec{Q}\times\vec{R}:
|\vec{Q}\times\vec{R}|=\sqrt{5^2+2^2+(-4)^2}=\sqrt{25+4+16}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}.

Passo 5

Calcular as normas (módulos) de \vec{Q} e \vec{R}:
|\vec{Q}|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3,
|\vec{R}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+1^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}.

Passo 6

Aplicar a identidade \sin\theta=\dfrac{|\vec{Q}\times\vec{R}|}{|\vec{Q}|\,|\vec{R}|}. Substituindo os valores calculados:
\operatorname{sen}\!\left(\theta_{QR}\right)=\frac{3\sqrt{5}}{3\cdot\sqrt{14}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}=\sqrt{\frac{5}{14}}.
Observação didática: o seno é dado como quantidade positiva porque \theta_{QR} é o ângulo entre vetores, tomado no intervalo [0,\pi], e usa-se o módulo do produto vetorial.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\frac{5}{14}}

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