[2,5] Um cano com um diâmetro interno de 5,00 \mathrm{~cm} transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de 1,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} com uma pressão de 200 kPa . Se o cano se estreita para 2,50 \mathrm{~cm} e sobe para o segundo piso, 8,00 \mathrm{~m} acima do ponto de entrada, quais são (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo piso?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro interno no porão: d_1 = 5,00\\ \mathrm{cm}.
  • Velocidade no porão: v_1 = 1,00\\ \mathrm{m/s}.
  • Pressão no porão: p_1 = 200\\ \mathrm{kPa}.
  • Diâmetro no segundo piso: d_2 = 2,50\\ \mathrm{cm}.
  • Diferença de altura do segundo piso em relação ao porão: \Delta y = 8,00\\ \mathrm{m} (o cano sobe 8,00\\ \mathrm{m}).
  • Fluido: água (densidade assumida \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}; aceleração da gravidade g = 9,80\\ \mathrm{m/s^2}).
O que o enunciado pede:
(a) a velocidade da água no segundo piso, v_2;
(b) a pressão da água no segundo piso, p_2.

Passo 2

Conservação da massa (continuidade) para fluido incompressível: a vazão volumétrica é constante ao longo do cano, portanto
A_1 v_1 = A_2 v_2,
onde A é a área da seção transversal e v a velocidade. A área de um cano circular em função do diâmetro d é
A = \frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo as áreas na equação de continuidade e cancelando constantes \pi/4, obtemos
v_2 = v_1\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{2}.
Agora colocar os números (conversão de cm para m):
d_1 = 5,00\\ \mathrm{cm} = 0,0500\\ \mathrm{m},\qquad d_2 = 2,50\\ \mathrm{cm} = 0,0250\\ \mathrm{m}.
Calcule a razão:
\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^{2} = \left(\frac{0,0500}{0,0250}\right)^{2} = (2,00)^{2} = 4,00.
Portanto
v_2 = v_1\cdot 4,00 = 1,00\\ \mathrm{m/s}\cdot 4,00 = 4,00\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático rápido: ao reduzir o diâmetro pela metade, a área reduz por um fator 4, então a velocidade aumenta por um fator 4 para manter a mesma vazão.

Passo 3

Para relacionar pressões em dois pontos de um escoamento estacionário e sem perdas significativas usamos a equação de Bernoulli (energia por unidade de volume constante ao longo de uma linha de corrente para fluido incompressível e sem viscosidade aparente):
p + \tfrac{1}{2}\rho v^{2} + \rho g y = \text{constante}.
Aqui:
  • p é a pressão (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • v é a velocidade ( \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • y é a altura (m) relativa a um referencial.
Aplicando entre o ponto 1 (porão) e o ponto 2 (segundo piso):
p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^{2} + \rho g y_1 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^{2} + \rho g y_2.
Escolhendo y_1 = 0 e y_2 = \Delta y = 8,00\\ \mathrm{m}, isolamos p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^{2}-v_2^{2}\right) - \rho g\,\Delta y.
Explicação: o termo \tfrac{1}{2}\rho v^{2} é a energia cinética por unidade de volume; \rho g y é a energia potencial por unidade de volume. Ao subir, há perda de energia disponível para pressão, e ao acelerar (aumento de v) também parte da energia de pressão se converte em energia cinética.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos (converter p_1 para pascal: 200\\ \mathrm{kPa}=200\,000\\ \mathrm{Pa}).
Dados usados:
p_1 = 200\,000\\ \mathrm{Pa},\quad \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad v_1 = 1,00\\ \mathrm{m/s},\quad v_2 = 4,00\\ \mathrm{m/s},
g = 9,80\\ \mathrm{m/s^2},\quad \Delta y = 8,00\\ \mathrm{m}.
Calcule o termo cinético:
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_1^{2}-v_2^{2}\right) = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot\left(1,00^{2}-4,00^{2}\right) = 500\cdot\left(1,00-16,0\right) = 500\cdot(-15,0) = -7\,500\\ \mathrm{Pa}.
Calcule o termo potencial:
-\rho g\,\Delta y = -1000\cdot 9,80\cdot 8,00 = -78\,400\\ \mathrm{Pa}.
Somando tudo:
p_2 = 200\,000 - 7\,500 - 78\,400 = 114\,100\\ \mathrm{Pa}.
Converter para quilopascal:
p_2 = 114\,100\\ \mathrm{Pa} = 114{,}1\\ \mathrm{kPa}.
Observação interpretativa: a pressão caiu porque parte da energia de pressão foi convertida em energia cinética (aumento de velocidade) e porque se ganhou energia potencial ao elevar a água 8 metros.

Passo 5

Arredondamentos e apresentação final com algarismos significativos compatíveis com os dados (dados têm três algarismos significativos). Assim:
  • v_2 = 4,00\\ \mathrm{m/s} (três algarismos significativos).
  • p_2 \approx 114\\ \mathrm{kPa} (aproximado para três algarismos significativos; valor mais preciso 114{,}1\\ \mathrm{kPa}).

Resposta

(a) v_2 = 4,00\\ \mathrm{m/s}
(b) p_2 = 114\\ \mathrm{kPa}

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