[2,5] Um cano com um diâmetro interno de
transporta água para o porão de uma casa a uma velocidade de
com uma pressão de 200 kPa . Se o cano se estreita para
e sobe para o segundo piso,
acima do ponto de entrada, quais são (a) a velocidade e (b) a pressão da água no segundo piso?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte.
Dados fornecidos:
- Diâmetro interno no porão:
. - Velocidade no porão:
. - Pressão no porão:
. - Diâmetro no segundo piso:
. - Diferença de altura do segundo piso em relação ao porão:
(o cano sobe ). - Fluido: água (densidade assumida
; aceleração da gravidade ).
O que o enunciado pede:
(a) a velocidade da água no segundo piso, ;
(b) a pressão da água no segundo piso, .
(a) a velocidade da água no segundo piso,
(b) a pressão da água no segundo piso,
Passo 2
Conservação da massa (continuidade) para fluido incompressível: a vazão volumétrica é constante ao longo do cano, portanto
onde
é a área da seção transversal e
a velocidade. A área de um cano circular em função do diâmetro
é
Substituindo as áreas na equação de continuidade e cancelando constantes
, obtemos
Agora colocar os números (conversão de cm para m):
Calcule a razão:
Portanto
Comentário didático rápido: ao reduzir o diâmetro pela metade, a área reduz por um fator
, então a velocidade aumenta por um fator
para manter a mesma vazão.
Passo 3
Para relacionar pressões em dois pontos de um escoamento estacionário e sem perdas significativas usamos a equação de Bernoulli (energia por unidade de volume constante ao longo de uma linha de corrente para fluido incompressível e sem viscosidade aparente):
Aqui:
-
é a pressão (Pa), -
é a densidade do fluido ( ), -
é a velocidade ( ), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura (m) relativa a um referencial.
Aplicando entre o ponto 1 (porão) e o ponto 2 (segundo piso):
Escolhendo
e
, isolamos
:
Explicação: o termo
é a energia cinética por unidade de volume;
é a energia potencial por unidade de volume. Ao subir, há perda de energia disponível para pressão, e ao acelerar (aumento de
) também parte da energia de pressão se converte em energia cinética.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos (converter
para pascal:
).
Dados usados:
Dados usados:
Calcule o termo cinético:
Calcule o termo potencial:
Somando tudo:
Converter para quilopascal:
Observação interpretativa: a pressão caiu porque parte da energia de pressão foi convertida em energia cinética (aumento de velocidade) e porque se ganhou energia potencial ao elevar a água 8 metros.
Passo 5
Arredondamentos e apresentação final com algarismos significativos compatíveis com os dados (dados têm três algarismos significativos). Assim:
-
(três algarismos significativos). -
(aproximado para três algarismos significativos; valor mais preciso ).
Resposta
(a)
(b)
(b)