A função
descreve o movimento harmônico simples de uma massa de
em um sistema massa mola. Determine o (a) período, (b) a constante elástica da mola, (c) a velocidade máxima, (d) a aceleração máxima e (e) a fase do movimento em
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
- Função que descreve o movimento:
- Massa:
O enunciado pede:
(a) o período do movimento;
(b) a constante elástica da mola ;
(c) a velocidade máxima ;
(d) a aceleração máxima ;
(e) a fase do movimento em .
(a) o período
(b) a constante elástica da mola
(c) a velocidade máxima
(d) a aceleração máxima
(e) a fase do movimento em
Passo 2
Identificar parâmetros importantes e fórmulas que usaremos.
- A forma padrão do movimento harmônico simples é
onde:
-
é a amplitude (máximo deslocamento) em metros; -
é a frequência angular em rad/s; -
é a fase inicial em radianos. - Do enunciado extraio:
- Amplitude:
- Frequência angular:
- Fase inicial:
- Amplitude:
Relações chave que vamos usar (vou explicar de onde vêm):
- Período
e estão relacionados por
Isto vem do fato de que um ciclo completo corresponde a um avanço de fase de
radianos.
- Para massa-mola sem amortecimento, a relação entre
, e é
Isto vem da equação
cuja solução tem
.
- A velocidade é a derivada do deslocamento; derivando
obtemos
logo a velocidade máxima em valor absoluto é
pois
.
- A aceleração é a derivada da velocidade (segunda derivada de
):
logo a aceleração máxima em módulo é
pois
.
Passo 3
Calcular o período
.
- Usando
na fórmula
obtemos
Explicação curta: como a frequência angular é quatro vezes
, cada volta completa demora meio segundo.
Passo 4
Determinar a constante elástica
.
- Usamos
. Substituindo e :
- Valor numérico aproximado:
, então
Interpretação: essa é a rigidez da mola; maior
significa mola “mais dura”.
Passo 5
Calcular a velocidade máxima
.
- Fórmula:
. - Substituindo
e :
- Valor numérico:
Comentário didático: a velocidade máxima ocorre ao passar pela posição de equilíbrio, quando a energia potencial da mola é zero e toda a energia está em cinética.
Passo 6
Calcular a aceleração máxima
.
- Fórmula:
. - Substituindo
e :
- Valor numérico:
Intuição: aceleração máxima está na amplitude, quando a força elástica é máxima.
Passo 7
Determinar a fase do movimento em
.
- A fase geral é
. Substituindo:
- Valor numérico:
- Muitas vezes se dá a fase equivalente no intervalo
. Note que
Como
é um múltiplo inteiro de
(
), a fase reduzida modulo
é
ou seja
. Isso significa que depois de
o sistema voltou à mesma fase inicial
(completa um número inteiro de ciclos).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)