[2,5] A função x(t)=(5,00 \mathrm{~m}) \cos [(4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}) t+(\pi / 5 \mathrm{rad})] descreve o movimento harmônico simples de uma massa de m=0,500 \mathrm{~kg} em um sistema massa mola. Determine o (a) período, (b) a constante elástica da mola, (c) a velocidade máxima, (d) a aceleração máxima e (e) a fase do movimento em t=3,00 \mathrm{~s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os dados do enunciado).
  • Função que descreve o movimento:
x(t)=\left(5{,}00\\ \mathrm{m}\right)\cos\!\bigl[(4\pi\\ \mathrm{rad/s})\,t+\tfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{rad}\bigr].
  • Massa: \;m=0{,}500\\ \mathrm{kg}.
O enunciado pede:
(a) o período T do movimento;
(b) a constante elástica da mola k;
(c) a velocidade máxima v_{\max};
(d) a aceleração máxima a_{\max};
(e) a fase do movimento em t=3{,}00\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Identificar parâmetros importantes e fórmulas que usaremos.
  • A forma padrão do movimento harmônico simples é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento) em metros;
  • \omega é a frequência angular em rad/s;
  • \varphi_0 é a fase inicial em radianos.
  • Do enunciado extraio:
    • Amplitude: \;A=5{,}00\\ \mathrm{m}.
    • Frequência angular: \;\omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}.
    • Fase inicial: \;\varphi_0=\tfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{rad}.
Relações chave que vamos usar (vou explicar de onde vêm):
  • Período T e \omega estão relacionados por
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Isto vem do fato de que um ciclo completo corresponde a um avanço de fase de 2\pi radianos.
  • Para massa-mola sem amortecimento, a relação entre \omega, k e m é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \quad\Longrightarrow\quad k=m\omega^2.
Isto vem da equação m\ddot x + kx=0 cuja solução tem \omega^2=k/m.
  • A velocidade é a derivada do deslocamento; derivando x(t) obtemos
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi_0),
logo a velocidade máxima em valor absoluto é
v_{\max}=A\omega,
pois |\sin|\le1.
  • A aceleração é a derivada da velocidade (segunda derivada de x):
a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi_0),
logo a aceleração máxima em módulo é
a_{\max}=A\omega^2,
pois |\cos|\le1.

Passo 3

Calcular o período T.
  • Usando \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s} na fórmula
T=\frac{2\pi}{\omega},
obtemos
T=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \mathrm{s}.
Explicação curta: como a frequência angular é quatro vezes \pi, cada volta completa demora meio segundo.

Passo 4

Determinar a constante elástica k.
  • Usamos k=m\omega^2. Substituindo m=0{,}500\\ \mathrm{kg} e \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}:
k=m\omega^2=0{,}500\times(4\pi)^2=0{,}500\times16\pi^2=8\pi^2\\ \mathrm{N/m}.
  • Valor numérico aproximado: \pi^2\approx9{,}8696, então
k\approx 8\times9{,}8696\approx78{,}96\\ \mathrm{N/m}.
Interpretação: essa é a rigidez da mola; maior k significa mola “mais dura”.

Passo 5

Calcular a velocidade máxima v_{\max}.
  • Fórmula: v_{\max}=A\omega.
  • Substituindo A=5{,}00\\ \mathrm{m} e \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}:
v_{\max}=5{,}00\times4\pi=20\pi\\ \mathrm{m/s}.
  • Valor numérico:
v_{\max}\approx20\times3{,}14159\approx62{,}83\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: a velocidade máxima ocorre ao passar pela posição de equilíbrio, quando a energia potencial da mola é zero e toda a energia está em cinética.

Passo 6

Calcular a aceleração máxima a_{\max}.
  • Fórmula: a_{\max}=A\omega^2.
  • Substituindo A=5{,}00\\ \mathrm{m} e \omega=4\pi\\ \mathrm{rad/s}:
a_{\max}=5{,}00\times(4\pi)^2=5{,}00\times16\pi^2=80\pi^2\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Valor numérico:
a_{\max}\approx80\times9{,}8696\approx789{,}57\\ \mathrm{m/s^2}.
Intuição: aceleração máxima está na amplitude, quando a força elástica é máxima.

Passo 7

Determinar a fase do movimento em t=3{,}00\\ \mathrm{s}.
  • A fase geral é \varphi(t)=\omega t+\varphi_0. Substituindo:
\varphi(3{,}00)=4\pi\times3{,}00+\frac{\pi}{5}=12\pi+\frac{\pi}{5}=\frac{61\pi}{5}\\ \mathrm{rad}.
  • Valor numérico:
\frac{61\pi}{5}\approx61\times0{,}6283185\approx38{,}351\\ \mathrm{rad}.
  • Muitas vezes se dá a fase equivalente no intervalo [0,2\pi). Note que
\frac{61\pi}{5}=12{,}2\pi=12\pi+0{,}2\pi.
Como 12\pi é um múltiplo inteiro de 2\pi ( 12\pi=6\cdot2\pi), a fase reduzida modulo 2\pi é
\varphi(3{,}00)\equiv\frac{\pi}{5}\\ \mathrm{rad}\quad(\text{mod }2\pi),
ou seja \approx0{,}6283\\ \mathrm{rad}. Isso significa que depois de 3{,}00\\ \mathrm{s} o sistema voltou à mesma fase inicial \varphi_0 (completa um número inteiro de ciclos).

Resposta

(a) T=0{,}5\\ \mathrm{s}
(b) k=8\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}\approx78{,}96\\ \mathrm{N/m}
(c) v_{\max}=20\pi\\ \mathrm{m/s}\approx62{,}83\\ \mathrm{m/s}
(d) a_{\max}=80\pi^{2}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx789{,}57\\ \mathrm{m/s^{2}}
(e) \varphi(3{,}00)=\dfrac{61\pi}{5}\\ \mathrm{rad}\equiv\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{rad}\\ (\text{mod }2\pi)

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