Três capacitores idênticos, quando devidamente associados, podem apresentar uma capacitância equivalente máxima de 18 uF. Qual a menor capacitância equivalente que podemos obter com esses mesmos três capacitores em uF?

Passo 1

Enunciado e dados que temos:
  • Três capacitores são idênticos (ou seja, todos têm a mesma capacitância desconhecida).
  • A associação que dá a capacitância equivalente máxima resulta em \,18\\ \mu\text{F}.
  • Pergunta: qual é a menor capacitância equivalente possível que podemos obter com esses mesmos três capacitores, em \mu\text{F}?

Passo 2

Identificar qual associação fornece a capacitância equivalente máxima e usar isso para encontrar a capacitância de cada capacitor.
  • Lembrete prático: quando ligamos capacitores em paralelo, as capacitâncias somam. Para três capacitores idênticos de capacitância C, a associação em paralelo dá
C_{\text{eq, paralelo}}=C+C+C=3C.
  • Como o enunciado diz que a capacitância equivalente máxima é \,18\\ \mu\text{F}, isso corresponde à associação em paralelo. Então
3C = 18\\ \mu\text{F}.
  • Resolvendo para C:
C = \frac{18\\ \mu\text{F}}{3} = 6\\ \mu\text{F}.
Portanto cada capacitor vale \,6\\ \mu\text{F}.

Passo 3

Relembrar a fórmula para capacitores em série (essa será usada para achar a menor equivalente).
  • Conceito: ligar capacitores em série faz com que a capacitância equivalente seja menor que qualquer uma das componentes. A regra é a soma dos recíprocos:
\frac{1}{C_{\text{eq, série}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}.é
  • Se os três são iguais com C_1=C_2=C_3=C, isso simplifica para
\frac{1}{C_{\text{eq, série}}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C}=\frac{3}{C},é
ou seja
C_{\text{eq, série}}=\frac{C}{3}.é
Expliquei por que: em série a carga é mesma mas a diferença de potencial se soma, dando recíproco da soma dos recíprocos.

Passo 4

Calcular a capacitância equivalente quando os três capacitores estão todos em série (candidato natural à menor capacitância).
  • Como encontramos C=6\\ \mu\text{F}, aplicamos
C_{\text{eq, todos em série}}=\frac{C}{3}=\frac{6\\ \mu\text{F}}{3}=2\\ \mu\text{F}.é
  • Intuição: série “diminui” muito a capacitância; com três iguais fica um terço de cada uma.

Passo 5

Verificar rapidamente outras associações possíveis para garantir que não há associação que dê capacitância ainda menor.
  • Casos típicos com três elementos idênticos:
    1. Todos em paralelo: já vimos 3C=18\\ \mu\text{F} (máxima).
    2. Todos em série: deu \,C/3=2\\ \mu\text{F}.
    3. Dois em série e o terceiro em paralelo com esse conjunto (ou dois em paralelo e o terceiro em série) — calcular para comparar:
      • Dois em série têm C/2. Em paralelo com o terceiro: C_{\text{eq}}=C/2 + C = \tfrac{3}{2}C = 9\\ \mu\text{F} (maior que 2\\ \mu\text{F}).
      • Dois em paralelo têm 2C. Em série com o terceiro: \dfrac{1}{C_{\text{eq}}}=\dfrac{1}{2C}+\dfrac{1}{C}=\dfrac{3}{2C}, logo C_{\text{eq}}=\dfrac{2C}{3}=\dfrac{2\cdot 6}{3}=4\\ \mu\text{F} (também maior que 2\\ \mu\text{F}).
  • Conclusão da comparação: nenhum desses arranjos produz valor menor que \,2\\ \mu\text{F}. Fisicamente, a série completa minimiza a capacitância para capacitores positivos.

Passo 6

Resumo final e encorajamento:
  • Cada capacitor vale \,6\\ \mu\text{F}.
  • A menor capacitância equivalente possível é obtida ligando os três em série, dando \,2\\ \mu\text{F}.
  • Bom trabalho! Esse tipo de raciocínio (identificar paralelo vs série e usar somas diretas ou recíprocas) resolve a maior parte dos exercícios de associação de capacitores — treine alguns casos diferentes para fixar.

Resposta

2\\ \mu\text{F}

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