Três cargas estão ligadas em paralelo a uma linha de 2400 \mathrm{~V}_{\text {rms }}, A carga 1 absorve 18 kW e 24 kvar . A carga 2 absorve 60 kVA com um FP adiantado de 0,6 . A carga 3 absorve 18 kW com FP igual a unidade.
a) Determine a impedância equivalente das três cargas em paralelo;
b) Determine o fator de potência da carga equivalente, vista dos terminais da entrada da linha.
\begin{array}{lll} P_{1}=18 \mathrm{~kW} ; Q_{1}=24 \mathrm{kvar} & S / \varphi \\\ S_{2}=60 \mathrm{kVA} ; \cos \phi_{2}=0,6 \text { adiantado } & P=\operatorname{scos} \varphi \\\ P_{2}=S_{2} \cos \phi_{2}=60 \mathrm{k} \cdot 0,6 \Rightarrow P_{2}=36 \mathrm{~kW}, & Q=P \mathrm{rg} \varphi \\\ Q_{2}=-S_{2} \operatorname{sen} \phi_{2}, & \phi_{2}=\cos ^{-1}(0,6) & Q=\mathrm{s} \cdot \operatorname{sen} \varphi \\\ & f F P \text { adiantado } & \phi_{2}=53,13^{\circ} \end{array}
Carga equivalente: P_{t}=P_{1}+P_{2}+P_{3}=18 k+36 K+18 K \Rightarrow P_{t}=72 \mathrm{~kW}
\begin{array}{r} Q_{t}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=24 \mathrm{k}+(-48 \mathrm{k})+0 \Rightarrow Q_{t}=-24 \mathrm{kvar} \\ s_{t}=P_{t}+J Q_{t}=(72-J 24) \mathrm{kVA} \Rightarrow s_{t}=75,891-18,43^{\circ} \mathrm{kVA} \end{array}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Tensão da linha (rms): V=2400\\ \mathrm{V}.
  • Carga 1: P_{1}=18\\ \mathrm{kW}, Q_{1}=24\\ \mathrm{kvar}.
  • Carga 2: S_{2}=60\\ \mathrm{kVA}, \cos\phi_{2}=0{,}6 adiantado.
  • Carga 3: P_{3}=18\\ \mathrm{kW}, fator de potência =1 (ou seja Q_{3}=0).
O enunciado pede:
(a) Determinar a impedância equivalente das três cargas ligadas em paralelo vista dos terminais da linha.
(b) Determinar o fator de potência da carga equivalente (vista dos terminais da linha).

Passo 2

Entender e lembrar fórmulas úteis (aula curta):
  • Complexo de potência de uma carga é \displaystyle S=P+jQ, onde P é potência ativa (W) e Q reativa (var). S tem unidades de VA.
  • Para uma impedância Z com tensão de linha (phasor) V aplicada, a potência complexa vista pela fonte é
S=\frac{|V|^{2}}{Z^{*}},
onde Z^{*} é o conjugado complexo de Z. Dessarte, isolando Z,
Z=\frac{|V|^{2}}{S^{*}}.
Essa fórmula é muito útil: a impedância vista pela fonte pode ser obtida a partir da potência complexa total (lembrando de usar unidades consistentes: V em volts, S em VA).

Passo 3

Calcular as potências complexas de cada carga em kVA (usar kVA/kW/kvar e depois converter para VA quando necessário).
  • Carga 1: já temos P_{1}=18\\ \mathrm{kW} e Q_{1}=24\\ \mathrm{kvar}. Logo
S_{1}=P_{1}+jQ_{1}=(18+j24)\\ \mathrm{kVA}.
  • Carga 3: P_{3}=18\\ \mathrm{kW} e Q_{3}=0. Logo
S_{3}=18+j0=(18+j0)\\ \mathrm{kVA}.
  • Carga 2: dado S_{2}=60\\ \mathrm{kVA} e \cos\phi_{2}=0{,}6 adiantado.
    • Potência ativa: \displaystyle P_{2}=S_{2}\cos\phi_{2}=60\cdot0{,}6=36\\ \mathrm{kW}.
    • Ângulo: \displaystyle \phi_{2}=\cos^{-1}(0{,}6)=53{,}130^{\circ}. Como o FP é adiantado, a reativa é negativa.
    • Potência reativa: \displaystyle Q_{2}=-S_{2}\sin\phi_{2}=-60\cdot\sin(53{,}13^{\circ}).
      Calcule \sin(53{,}13^{\circ})=\sqrt{1-0{,}6^{2}}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8. Assim
Q_{2}=-60\cdot0{,}8=-48\\ \mathrm{kvar}.
  • Logo
S_{2}=36-j48\\ \mathrm{kVA}.

Passo 4

Somar as potências complexas para obter a potência complexa total S_{t}.
  • Some as partes reais (potência ativa):
P_{t}=P_{1}+P_{2}+P_{3}=18+36+18=72\\ \mathrm{kW}.
  • Some as partes reativas:
Q_{t}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}=24+(-48)+0=-24\\ \mathrm{kvar}.
  • Assim a potência complexa total é
S_{t}=P_{t}+jQ_{t}=(72-j24)\\ \mathrm{kVA}.
Calcule também magnitude e ângulo, que serão úteis:
|S_{t}|=\sqrt{72^{2}+(-24)^{2}}=\sqrt{5184+576}=\sqrt{5760}=24\sqrt{10}\approx75{,}891\\ \mathrm{kVA},
\phi_{t}=\arctan\!\left(\frac{Q_{t}}{P_{t}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-24}{72}\right)=\arctan(-\tfrac{1}{3})\approx-18{,}4349^{\circ}.

Passo 5

Aplicar a fórmula da relação entre S e Z para obter a impedância equivalente. Usar unidades consistentes (transformar kVA para VA).
  • Primeiro escrevemos o conjugado de S_{t}:
S_{t}^{*}=(72+j24)\\ \mathrm{kVA}=(72\,000+j24\,000)\\ \mathrm{VA}.
  • Calcule V^{2}:
|V|^{2}=(2400)^{2}=5\,760\,000\\ \mathrm{V}^{2}.
  • Pela fórmula Z=\dfrac{|V|^{2}}{S^{*}},
Z_{eq}=\frac{5\,760\,000}{72\,000+j24\,000}\\ \Omega.

Passo 6

Simplificar a divisão para obter forma retangular e polar de Z_{eq}.
  • Divida numerador e denominador por 24\,000 (fator comum):
Z_{eq}=\frac{5\,760\,000/24\,000}{(72\,000+j24\,000)/24\,000}=\frac{240}{3+j1}\\ \Omega.
  • Multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Z_{eq}=\frac{240(3-j1)}{(3+j1)(3-j1)}=\frac{240(3-j1)}{3^{2}+1^{2}}=\frac{240(3-j1)}{10}.
  • Simplificando:
Z_{eq}=24(3-j1)=72-j24\\ \Omega.
  • Magnitude e ângulo:
|Z_{eq}|=\sqrt{72^{2}+(-24)^{2}}=\sqrt{5760}\approx75{,}891\\ \Omega,
\theta_{Z}=\arctan\!\left(\frac{-24}{72}\right)=\arctan(-\tfrac{1}{3})\approx-18{,}435^{\circ}.

Passo 7

Determinar o fator de potência da carga equivalente (definição e cálculo).
  • Definição: fator de potência \mathrm{FP}=\cos\phi_{t}, sendo \phi_{t} o ângulo da potência complexa total S_{t}. Sinal de Q_{t} indica se é adiantado (Q negativo) ou atrasado (Q positivo).
  • Usando os valores obtidos:
\mathrm{FP}=\cos\phi_{t}=\frac{P_{t}}{|S_{t}|}=\frac{72}{75{,}891}\approx0{,}948683.
  • Arredondando e indicando se é adiantado ou atrasado: como Q_{t}=-24\\ \mathrm{kvar} (negativo), o FP é adiantado (leading).
  • Ângulo correspondente: \phi_{t}\approx-18{,}435^{\circ} (o sinal negativo confirma adiantado).

Resposta

(a) Z_{eq}=72-j24\\ \Omega (ou |Z_{eq}|\approx75{,}891\\ \Omega com ângulo -18{,}435^{\circ}).
(b) \mathrm{FP}=\cos\phi_{t}\approx0{,}9487 adiantado (ângulo \phi_{t}\approx-18{,}435^{\circ}).

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