1. Três cargas estão ligadas em paralelo a uma linha de 2400 \mathrm{~V}_{\text {rms }}, A carga 1 absorve 18 kW e 24 kvar. A carga 2 absorve 60 kVA com um FP adiantado de 0,6 . A carga 3 absorve 18 kW com FP igual a unidade.
    a) Determine a impedância equivalente das três cargas em paralelo;
    b) Determine o fator de potência da carga equivalente, vista dos terminais da entrada da linha.
    b)
\begin{aligned} & \cos \phi_{t}=\cos \left(-18,43^{\circ}\right)=0,9484 \text { Em avanço } \\ & S_{t}=\hat{V} \hat{I}_{t}^{*} \Rightarrow \hat{I}_{t}^{*}=\frac{75,89 \times 1-18,43^{\circ}}{2400 L 0^{\circ}}=31,62 L-18,43^{\circ} \\ & \hat{I}_{t}=31,62 L 18,43^{\circ} A \\ & Z_{t}=\frac{V}{I_{t}}=\frac{2400 L 0^{\circ}}{31,62 L 18,43^{\circ}}=75,9 L-18,43^{\circ} \Rightarrow Z_{t}=72-J 24 \Omega \end{aligned}ç

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
O enunciado diz que três cargas estão ligadas em paralelo a uma linha de 2400\\ \mathrm{V}_{\text{rms}}. Os dados das cargas são:
  • Carga 1 absorve 18\\ \text{kW} e 24\\ \text{kvar}.
  • Carga 2 absorve 60\\ \text{kVA} com fator de potência adiantado (leading) igual a 0,6.
  • Carga 3 absorve 18\\ \text{kW} com fator de potência igual a 1.
As perguntas:
a) Determinar a impedância equivalente ( Z_{eq}) das três cargas em paralelo, vista pelos terminais da linha.
b) Determinar o fator de potência da carga equivalente vista dos terminais da linha (ou seja, do sistema equivalente).

Passo 2

Entender e representar a potência complexa de cada carga — revisão rápida e necessária.
  • Definição: para cargas alimentadas por tensão senoidal em regime permanente, a potência complexa é \displaystyle S = P + jQ, onde:
    • P é a potência ativa (em W ou kW),
    • Q é a potência reativa (em var ou kvar).
      O sinal de Q segue a convenção: Q>0 para reativo indutivo (atraso/lagging) e Q<0 para reativo capacitivo (adiantado/leading).
  • Relação com corrente e tensão: \displaystyle S = V\,I^{*}. Isso é útil para achar corrente a partir de S e V.
Agora vamos escrever S de cada carga (todas em kVA = 10^3 VA para manter unidade consistente):
Carga 1:
S_1 = 18 + j\,24\\ \text{kVA}.
(Aqui os sinais mostram que a carga absorve 18 kW e +24 kvar, ou seja, reativo indutivo.)
Carga 2: dado |S_2|=60\\ \text{kVA} e \cos\phi_2=0,6 adiantado. Primeiro calcule P_2 e Q_2:
P_2 = |S_2|\cos\phi_2 = 60\cdot 0,6 = 36\\ \text{kW}.
O ângulo correspondente é \phi_2 = \operatorname{arccos}(0,6). Mas mais simples: \sin\phi_2 = \sqrt{1-\cos^2\phi_2}=\sqrt{1-0,36}=0,8. Como o FP é adiantado, Q_2 é negativo:
Q_2 = -|S_2|\sin\phi_2 = -60\cdot 0,8 = -48\\ \text{kvar}.
Logo
S_2 = 36 - j\,48\\ \text{kVA}.
Carga 3:
S_3 = 18 + j\,0\\ \text{kVA}.
(FP unitário → sem potência reativa.)

Passo 3

Somar as potências complexas para obter a potência complexa total absorvida pelas três cargas em paralelo.
Some S_1, S_2 e S_3:
S_{t} = S_1 + S_2 + S_3 = (18+36+18) + j(24-48+0) = 72 - j\,24\\ \text{kVA}.
Convertendo para VA quando necessário: \displaystyle S_{t} = (72 - j\,24)\times 10^{3}\\ \mathrm{VA}.

Passo 4

Determinar o fator de potência (FP) e o ângulo da carga equivalente — explicação do conceito e cálculo.
  • Definição: o fator de potência é \displaystyle \cos\phi_{t}=\frac{P_{t}}{|S_{t}|}, onde |S_{t}|=\sqrt{P_{t}^{2}+Q_{t}^{2}}.
    Aqui P_{t}=72\\ \text{kW} e Q_{t}=-24\\ \text{kvar}.
Calcule o módulo:
|S_{t}| = \sqrt{72^{2}+(-24)^{2}}=\sqrt{5184+576}=\sqrt{5760}\approx 75,894\\ \text{kVA}.
O fator de potência:
\cos\phi_{t}=\frac{72}{75,894}\approx 0,9487.
O ângulo:
\phi_{t}=\arctan\!\left(\frac{Q_{t}}{P_{t}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-24}{72}\right)=\arctan(-\tfrac{1}{3})\approx -18,4349^\circ.
Como \phi_t é negativo, o FP é em avanço (leading). Resumo: \displaystyle \cos\phi_{t}\approx 0,9487 (em avanço), \phi_t\approx -18,43^\circ.

Passo 5

Encontrar a impedância equivalente Z_{eq} visto pelos terminais da linha — relação entre potência complexa e impedância.
Partindo da igualdade fundamental \displaystyle S_{t}=V\,I_{t}^{*}, podemos isolar a corrente conjugada:
I_{t}^{*}=\frac{S_{t}}{V}.
Assim a corrente é \displaystyle I_{t}=\frac{S_{t}^{*}}{V}. A impedância equivalente é:
Z_{eq}=\frac{V}{I_{t}}=\frac{V}{S_{t}^{*}/V}=\frac{V^{2}}{S_{t}^{*}}.
Essa fórmula é muito prática: Z_{eq}=\dfrac{V^{2}}{S_{t}^{*}}. Lembre que S_{t}^{*} é o conjugado de S_{t}.

Passo 6

Aplicar a fórmula numérica com V=2400\\ \mathrm{V}_{\text{rms}} e S_{t}=(72-j\,24)\times 10^{3}\\ \mathrm{VA}.
Primeiro escreva S_{t}^{*}=(72+j\,24)\times 10^{3}\\ \mathrm{VA}. Calcule V^{2}:
V^{2}=2400^{2}=5\,760\,000\\ \mathrm{V}^{2}.
Agora calcule Z_{eq}:
Z_{eq}=\frac{5\,760\,000}{(72+ j\,24)\times 10^{3}}=\frac{5\,760\,000}{72\,000 + j\,24\,000}.
Para simplificar a divisão, divida numerador e denominador por 24\,000:
Z_{eq}=\frac{5\,760\,000/24\,000}{(72\,000/24\,000) + j(24\,000/24\,000)}=\frac{240}{3+j1}.
Multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Z_{eq}=\frac{240(3 - j1)}{(3+j1)(3-j1)}=\frac{240(3 - j1)}{9+1}=\frac{240(3 - j1)}{10}=24(3 - j1).
Logo:
Z_{eq}=72 - j\,24\\ \Omega.
Também em forma fasorial (magnitude e ângulo):
|Z_{eq}|=\sqrt{72^{2}+(-24)^{2}=}(75,894\\ \Omega),\qquad \angle Z_{eq}=\arctan\!\left(\frac{-24}{72}\right)=-18,4349^\circ.
Portanto \displaystyle Z_{eq}\approx 75,894\angle -18,43^\circ\\ \Omega, que em retangular é 72 - j\,24\\ \Omega.

Passo 7

Interpretando os resultados e memória rápida para a prova (dicas práticas).
  • Estratégia curta para prova: calcule as potências complexas individuais S=P+jQ, some-as para obter S_t. Em seguida:
    • FP equivalente: \cos\phi_t = P_t/|S_t|.
    • Impedância equivalente: Z_{eq}=V^{2}/S_t^{*}.
      Essas fórmulas evitam ter que calcular correntes individuais se só se quer Z_{eq} e FP.
  • Observação sobre sinal de Q: cargas indutivas → Q>0 (lagging); cargas com FP adiantado → Q<0. Sempre manter atenção ao sinal ao somar as Q's.

Resposta

Z_{eq}=72 - j\,24\\ \Omega (ou 75,894\angle -18,4349^\circ\\ \Omega)
\text{Fator de potência equivalente } \cos\phi_{t}=0,9487\\ \text{(em avanço)},\\ \phi_{t}\approx -18,43^\circêç

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