Três cargas puntiformes estão dispostas em linha reta. A carga
está na origem. A carga
nC está em
. A carga
está em
cm . Determine q1 (módulo e sinal), quando a força resultante sobre
for igual a zero.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
- Temos três cargas puntiformes sobre o eixo
. - A carga
está em (origem). - A carga
está em . - A carga
está em (valor de desconhecido). - Pergunta: determinar
(módulo e sinal) quando a força resultante sobre for igual a zero.
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A força elétrica entre duas cargas puntuais é dada pela lei de Coulomb:
onde:
-
é o módulo da força entre as cargas, -
é a constante eletrostática no vácuo ( ), -
e são as cargas (em coulombs), -
é a distância entre as cargas (em metros). -
A força é atrativa se as cargas tiverem sinais opostos e repulsiva se tiverem o mesmo sinal. Em uma situação colinear (como aqui), podemos tratar as forças como grandezas escalares com sinal indicando direção (por exemplo, positiva para a direita, negativa para a esquerda).
-
Princípio da superposição: a força resultante sobre
é a soma vetorial (aqui soma algébrica) das forças individuais exercidas por e por .
Vou aplicar essas ideias passo a passo para esse problema.
Passo 3
Determinar a direção das forças sobre
devido a cada carga, usando os sinais:
-
A carga
e têm sinais opostos. Portanto, atrai . Como está em (à direita de ), a atração puxa para a direita. Logo, a força de sobre aponta para a direita (direção positiva). -
A carga
está em (também à direita de ). Para que a soma das forças sobre seja zero, a força devido a deve ter a mesma magnitude da força devido a , mas apontar para a esquerda (direção oposta). Isso significa que a força exercida por sobre deve ser de sentido esquerdo. Como está à direita de , para que a força seja para a esquerda a interação deve ser repulsiva; portanto deve ter o mesmo sinal que , ou seja, deve ser positiva. Conclusão qualitativa: .
Passo 4
Equação da condição de equilíbrio (módulos das forças iguais):
-
Distâncias entre
e as outras cargas: - Distância entre
e : . - Distância entre
e : .
- Distância entre
-
Como as direções são opostas no equilíbrio, basta igualar os módulos das forças:
- Explicando cada termo: o lado esquerdo é o módulo da força entre
e , o lado direito é o módulo da força entre e . A constante e o módulo de aparecem em ambos os lados e podem ser simplificados.
Passo 5
Simplificação algébrica para
:
- Cancelando
e dos dois lados obtemos:
- Isolando
:
Passo 6
Substituição numérica e cálculo (sem necessidade de calculadora complicada):
- Inserindo os valores (usando metros ou apenas a razão das distâncias; a razão é adimensional):
- Calcule a razão dentro do parêntese:
. Então
- Portanto
Passo 7
Determinar o sinal de
e conclusão:
-
Do Passo 3 concluímos que
precisa ser positiva para que a força que gera sobre seja para a esquerda e cancele a atração exercida por . Assim o sinal é positivo. -
Portanto
.