Três cargas puntiformes estão dispostas em linha reta. A carga q_{3}=+6,0 \mathrm{nC} está na origem. A carga q_{2}=-2,0 nC está em x=4,00 \mathrm{~cm}. A carga q_{1} está em x=2,00 cm . Determine q1 (módulo e sinal), quando a força resultante sobre q_{3} for igual a zero.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • Temos três cargas puntiformes sobre o eixo x.
  • A carga \,q_{3}=+6{,}0\\ \mathrm{nC}\, está em x=0 (origem).
  • A carga \,q_{2}=-2{,}0\\ \mathrm{nC}\, está em x=4{,}00\\ \mathrm{cm}.
  • A carga \,q_{1}\, está em x=2{,}00\\ \mathrm{cm} (valor de q_{1} desconhecido).
  • Pergunta: determinar \,q_{1} (módulo e sinal) quando a força resultante sobre \,q_{3}\, for igual a zero.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A força elétrica entre duas cargas puntuais é dada pela lei de Coulomb:
F = k\,\frac{|q_a q_b|}{r^2},
onde:
  • \,F\, é o módulo da força entre as cargas,
  • \,k\, é a constante eletrostática no vácuo ( k\approx 8{,}99\times 10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}),
  • \,q_a e \,q_b são as cargas (em coulombs),
  • \,r é a distância entre as cargas (em metros).
  • A força é atrativa se as cargas tiverem sinais opostos e repulsiva se tiverem o mesmo sinal. Em uma situação colinear (como aqui), podemos tratar as forças como grandezas escalares com sinal indicando direção (por exemplo, positiva para a direita, negativa para a esquerda).
  • Princípio da superposição: a força resultante sobre \,q_{3} é a soma vetorial (aqui soma algébrica) das forças individuais exercidas por \,q_{1} e por \,q_{2}.
Vou aplicar essas ideias passo a passo para esse problema.

Passo 3

Determinar a direção das forças sobre \,q_{3} devido a cada carga, usando os sinais:
  • A carga \,q_{2}=-2{,}0\\ \mathrm{nC} e \,q_{3}=+6{,}0\\ \mathrm{nC} têm sinais opostos. Portanto, \,q_{2} atrai \,q_{3}. Como \,q_{2} está em x=4{,}00\\ \mathrm{cm} (à direita de \,q_{3}), a atração puxa \,q_{3} para a direita. Logo, a força de \,q_{2} sobre \,q_{3} aponta para a direita (direção positiva).
  • A carga \,q_{1} está em x=2{,}00\\ \mathrm{cm} (também à direita de \,q_{3}). Para que a soma das forças sobre \,q_{3} seja zero, a força devido a \,q_{1} deve ter a mesma magnitude da força devido a \,q_{2}, mas apontar para a esquerda (direção oposta). Isso significa que a força exercida por \,q_{1} sobre \,q_{3} deve ser de sentido esquerdo. Como \,q_{1} está à direita de \,q_{3}, para que a força seja para a esquerda a interação deve ser repulsiva; portanto \,q_{1} deve ter o mesmo sinal que \,q_{3}, ou seja, \,q_{1} deve ser positiva. Conclusão qualitativa: \,q_{1}>0.

Passo 4

Equação da condição de equilíbrio (módulos das forças iguais):
  • Distâncias entre \,q_{3} e as outras cargas:
    • Distância entre \,q_{3} e \,q_{1}: \,r_{13}=2{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
    • Distância entre \,q_{3} e \,q_{2}: \,r_{23}=4{,}00\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Como as direções são opostas no equilíbrio, basta igualar os módulos das forças:
k\,\frac{|q_{1} q_{3}|}{r_{13}^{2}} = k\,\frac{|q_{2} q_{3}|}{r_{23}^{2}}.
  • Explicando cada termo: o lado esquerdo é o módulo da força entre \,q_{1} e \,q_{3}, o lado direito é o módulo da força entre \,q_{2} e \,q_{3}. A constante k e o módulo de \,q_{3} aparecem em ambos os lados e podem ser simplificados.

Passo 5

Simplificação algébrica para \,q_{1}:
  • Cancelando k e |q_{3}| dos dois lados obtemos:
|q_{1}|\,\frac{1}{r_{13}^{2}} = |q_{2}|\,\frac{1}{r_{23}^{2}}.
  • Isolando |q_{1}|:
|q_{1}| = |q_{2}|\,\frac{r_{13}^{2}}{r_{23}^{2}}.

Passo 6

Substituição numérica e cálculo (sem necessidade de calculadora complicada):
  • Inserindo os valores (usando metros ou apenas a razão das distâncias; a razão é adimensional):
|q_{1}| = 2{,}0\\ \mathrm{nC}\times\left(\frac{0{,}02}{0{,}04}\right)^{2}.
  • Calcule a razão dentro do parêntese: \frac{0{,}02}{0{,}04}=\frac{1}{2}. Então
\left(\frac{0{,}02}{0{,}04}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}.
  • Portanto
|q_{1}| = 2{,}0\\ \mathrm{nC}\times\frac{1}{4} = 0{,}50\\ \mathrm{nC}.

Passo 7

Determinar o sinal de \,q_{1} e conclusão:
  • Do Passo 3 concluímos que \,q_{1} precisa ser positiva para que a força que gera sobre \,q_{3} seja para a esquerda e cancele a atração exercida por \,q_{2}. Assim o sinal é positivo.
  • Portanto \,q_{1}=+0{,}50\\ \mathrm{nC}.

Resposta

q_{1}=+0{,}50\\ \mathrm{nC}

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