Calcule o campo elétrico \vec{E}\) dos seguintes potenciais \(\bullet\) \[\begin{gathered} V(x, y, z)=\frac{k q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \\\ V(\vec{r})=k \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^{3}} \end{gathered}
onde \vec{p}= const
\bullet
V(\rho, \varphi, z)=-\frac{\lambda_{0}}{2 \pi \varepsilon_{0}} \ln \left(\frac{\rho}{\rho_{0}}\right)
em coordenadas cilíndricas
\bullet
(V(r, \theta, \varphi)= \begin{cases}\frac{\rho_{0}}{3 \varepsilon_{0}} \frac{3}{2}\left(b^{2}-a^{2}\right. & \text { para } r<a \\\ \frac{\rho_{0}}{3 \varepsilon_{0}}\left[\frac{3}{2} b^{2}-\frac{r^{2}}{2}-\frac{a^{3}}{r}\right] & \text { para } a<r<b \\\ \frac{\rho_{0}}{3 \varepsilon_{0}} \frac{b^{3}-a^{3}}{r} & \text { para } r>b\end{cases}]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo elétrico [\vec{E}) a partir de potenciais eletrostáticos dados. As perguntas (separadas por tópicos) e as informações relevantes são:
  1. Dois potenciais em coordenadas cartesianas (função de (x,y,z) ou \vec r):
    • V(x,y,z)=\dfrac{k q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
    • V(\vec r)=k\,\dfrac{\vec p\cdot\vec r}{r^{3}}, onde \vec p é constante e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
      Pergunta: encontrar \vec E correspondente a cada potencial.
  2. Potencial em coordenadas cilíndricas:
    • V(\rho,\varphi,z)=-\dfrac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\dfrac{\rho}{\rho_{0}}\right).
      Pergunta: encontrar \vec E em coordenadas cilíndricas.
  3. Potencial com simetria esférica dado por partes (função só de r):
    • V(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\dfrac{3}{2}\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr), & \text{para } r<a,\\[6pt] \dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\!\left[\dfrac{3}{2}b^{2}-\dfrac{r^{2}}{2}-\dfrac{a^{3}}{r}\right], & \text{para } a<r<b,\\[6pt] \dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\dfrac{b^{3}-a^{3}}{r}, & \text{para } r>b, \end{cases}
    (a expressão foi dada no enunciado; trata-se de um potencial esfericamente simétrico). Pergunta: encontrar (\vec E] nas três regiões.
Observações: para campos eletrostáticos vale a relação
\vec E = -\nabla V,
onde \nabla é o operador gradiente apropriado na coordenada usada. Não inicio a resolução aqui; nos passos seguintes eu derivo passo a passo cada resultado e ensino as fórmulas usadas.]

Passo 2

Relembrando a definição operacional que usaremos (aula rápida e prática):
\vec E(\vec r) = -\nabla V(\vec r).
  • Em coordenadas cartesianas \nabla V = \hat{\imath}\,\dfrac{\partial V}{\partial x} + \hat{\jmath}\,\dfrac{\partial V}{\partial y} + \hat{k}\,\dfrac{\partial V}{\partial z}.
  • Em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z),
\nabla V = \hat{\rho}\,\dfrac{\partial V}{\partial \rho} + \hat{\varphi}\,\dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial V}{\partial \varphi} + \hat{z}\,\dfrac{\partial V}{\partial z}.
  • Em coordenadas esféricas, para funções que dependem apenas de r,
\nabla V(r)=\hat r\,\dfrac{dV}{dr}.
Explicação curta: \hat r é o versor radial (aponta para fora), e se V só depende de r então só há componente radial no gradiente. Em todas as situações usaremos \vec E=-\nabla V.

Passo 3

Primeiro potencial: V(x,y,z)=\dfrac{kq}{r} com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  1. Calculemos \nabla\!\left(\dfrac{1}{r}\right). Usamos derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\!\bigl(r^{-1}\bigr) = -r^{-2}\frac{\partial r}{\partial x}.
Mas \dfrac{\partial r}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\dfrac{x}{r}. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{x}{r^{3}}.
Analogamente para y e z:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{y}{r^{3}},\qquad \frac{\partial}{\partial z}\!\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{z}{r^{3}}.
Portanto, escrevendo em forma vetorial (onde \vec r = x\hat\imath+y\hat\jmath+z\hat k):
\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{\vec r}{r^{3}}.
  1. Agora \vec E=-\nabla V=-\nabla\!\left(kq\frac{1}{r}\right)=-kq\,\nabla\!\left(\frac{1}{r}\right).
    Substituindo a identidade anterior:
\vec E=-kq\!\left(-\frac{\vec r}{r^{3}}\right)=kq\frac{\vec r}{r^{3}}.
  1. É comum escrever \vec r / r^{3} = \dfrac{\hat r}{r^{2}}. Assim a forma usual é
\vec E(\vec r)=k\,\dfrac{q}{r^{2}}\;\hat r.
Lembrete: k normalmente é 1/(4\pi\varepsilon_{0}). Isso confirma o campo do ponto carga.

Passo 4

Segundo potencial (dipolo): V(\vec r)=k\,\dfrac{\vec p\cdot\vec r}{r^{3}}, com \vec p constante.
  1. Estratégia: usar identidade do gradiente para produto escalar com função radial. Escreva V=k\,( \vec p\cdot\vec r)\,f(r) com f(r)=r^{-3}. Como \vec p é constante,
\nabla\bigl((\vec p\cdot\vec r)\,f(r)\bigr) = \vec p\,f(r) + (\vec p\cdot\vec r)\,\nabla f(r).
Isto vem da regra do produto com gradiente visto componente a componente (é análogo a \nabla(uv)=u\nabla v+v\nabla u, aqui u=\vec p\cdot\vec r, v=f(r)).
  1. Calcule \nabla f(r) com f(r)=r^{-3}. Como f depende só de r,
\nabla f(r)=f'(r)\,\nabla r = f'(r)\,\frac{\vec r}{r}.
E f'(r)=\dfrac{d}{dr}(r^{-3})=-3r^{-4}. Logo
\nabla f(r)=-3r^{-4}\frac{\vec r}{r}=-3\frac{\vec r}{r^{5}}.
  1. Substituindo em \nabla V:
\nabla\!\left(\frac{\vec p\cdot\vec r}{r^{3}}\right) = \frac{\vec p}{r^{3}} + (\vec p\cdot\vec r)\!\left(-3\frac{\vec r}{r^{5}}\right) = \frac{\vec p}{r^{3}} - 3\frac{(\vec p\cdot\vec r)\,\vec r}{r^{5}}.
  1. Agora \vec E=-\nabla V = -k vezes o que obtivemos:
\vec E(\vec r) = -k\!\left(\frac{\vec p}{r^{3}} - 3\frac{(\vec p\cdot\vec r)\,\vec r}{r^{5}}\right) = k\!\left(3\frac{(\vec p\cdot\vec r)\,\vec r}{r^{5}} - \frac{\vec p}{r^{3}}\right).
  1. Forma alternativa usando \hat r=\vec r/r: note que (\vec p\cdot\vec r)=r(\vec p\cdot\hat r), e \vec r/r^{5}=\hat r/r^{4}, então simplifica para a forma habitual
\vec E(\vec r)=k\frac{1}{r^{3}}\!\left[3(\vec p\cdot\hat r)\,\hat r - \vec p\right].
Isso é a expressão padrão do campo de um dipolo elétrico no regime estático.

Passo 5

Potencial em coordenadas cilíndricas:
V(\rho,\varphi,z)=-\frac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}\right).
  1. Observação: o potencial depende apenas de \rho (não depende de \varphi ou z). Portanto, na fórmula do gradiente cilíndrico só a derivada parcial em \rho contribui:
\nabla V = \hat\rho\,\frac{\partial V}{\partial \rho}.
  1. Calcule a derivada:
\frac{\partial V}{\partial \rho}=-\frac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho}.
  1. Assim o campo é
\vec E = -\nabla V = -\hat\rho\,\frac{\partial V}{\partial \rho} = -\hat\rho\!\left(-\frac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho}\right) = \hat\rho\,\frac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}.
  1. Interpretação física rápida: campo radial (no sentido \hat\rho) decai como 1/\rho, como esperado para linha de carga infinita com densidade linear \lambda_{0}.

Passo 6

Potencial esfericamente simétrico por partes:
V(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\dfrac{3}{2}\bigl(b^{2}-a^{2}\bigr), & r<a,\\[6pt] \dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\!\left[\dfrac{3}{2}b^{2}-\dfrac{r^{2}}{2}-\dfrac{a^{3}}{r}\right], & a<r<b,\\[6pt] \dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\dfrac{b^{3}-a^{3}}{r}, & r>b. \end{cases}
  1. Observação importante: V depende só de r, logo \nabla V=\hat r\,\dfrac{dV}{dr} e \vec E=-\hat r\,\dfrac{dV}{dr}. Vou calcular \dfrac{dV}{dr} em cada região.
  2. Região r<a:
  • O enunciado dá V=\dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\dfrac{3}{2}(b^{2}-a^{2}), que é uma constante (não depende de r). Logo
\frac{dV}{dr}=0\quad\Rightarrow\quad \vec E=\vec 0.
  1. Região a<r<b:
  • Aqui
V(r)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\left[\frac{3}{2}b^{2}-\frac{r^{2}}{2}-\frac{a^{3}}{r}\right].
  • Diferenciando termo a termo em relação a r:
\frac{d}{dr}\!\left(\frac{3}{2}b^{2}\right)=0,\qquad \frac{d}{dr}\!\left(-\frac{r^{2}}{2}\right)=-r,\qquad \frac{d}{dr}\!\left(-\frac{a^{3}}{r}\right)=+ \frac{a^{3}}{r^{2}}.
  • Então
\frac{dV}{dr}=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\left(-r+\frac{a^{3}}{r^{2}}\right).
  • Logo o campo é
\vec E(r)=-\hat r\,\frac{dV}{dr}=\hat r\,\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\!\left(r-\frac{a^{3}}{r^{2}}\right).
  1. Região r>b:
  • Aqui
V(r)=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\frac{b^{3}-a^{3}}{r}.
  • Diferenciando:
\frac{dV}{dr}=\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}(b^{3}-a^{3})\frac{d}{dr}\!\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}(b^{3}-a^{3})\!\left(-\frac{1}{r^{2}}\right).
  • Então
\vec E(r)=-\hat r\,\frac{dV}{dr}=\hat r\,\frac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\frac{b^{3}-a^{3}}{r^{2}}.
  1. Interpretação física curta: campo radial, nulo no interior r<a, cresce linearmente com r menos o termo a^{3}/r^{2} na casca a<r<b, e para r>b o campo corresponde ao de uma carga total Q=\rho_{0}\frac{4\pi}{3}(b^{3}-a^{3}) concentrada no centro (decai como 1/r^{2}).]

Resposta

[\vec E(\vec r)=k,\dfrac{q,\vec r}{r{3}}=;k,\dfrac{q}{r{2}},\hat r.)
\vec E(\vec r)=k\!\left(3\frac{(\vec p\cdot\vec r)\,\vec r}{r^{5}}-\frac{\vec p}{r^{3}}\right) = k\frac{1}{r^{3}}\!\left[3(\vec p\cdot\hat r)\,\hat r-\vec p\right].
\vec E(\rho,\varphi,z)=\hat\rho\,\dfrac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}.
(\vec E®= \begin{cases} \vec 0, & r<a,\\[4pt] \hat r\,\dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\!\left(r-\dfrac{a^{3}}{r^{2}}\right), & a<r<b,\\[8pt] \hat r\,\dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\dfrac{b^{3}-a^{3}}{r^{2}}, & r>b. \end{cases}]]

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