Calcule o campo elétrico \vec{E}\) dos seguintes potenciais
\(\bullet\)
\[\begin{gathered} V(x, y, z)=\frac{k q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \\\ V(\vec{r})=k \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{r^{3}} \end{gathered}
em coordenadas cilíndricas \bullet
(V(r, \theta, \varphi)= \begin{cases}\frac{\rho_{0}}{3 \varepsilon_{0}} \frac{3}{2}\left(b^{2}-a^{2}\right. & \text { para } r<a \\\ \frac{\rho_{0}}{3 \varepsilon_{0}}\left[\frac{3}{2} b^{2}-\frac{r^{2}}{2}-\frac{a^{3}}{r}\right] & \text { para } a<r<b \\\ \frac{\rho_{0}}{3 \varepsilon_{0}} \frac{b^{3}-a^{3}}{r} & \text { para } r>b\end{cases}]
Passo 1
O enunciado pede para calcular o campo elétrico [\vec{E}) a partir de potenciais eletrostáticos dados. As perguntas (separadas por tópicos) e as informações relevantes são:
Dois potenciais em coordenadas cartesianas (função de (x,y,z) ou \vec r):
V(x,y,z)=\dfrac{k q}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
V(\vec r)=k\,\dfrac{\vec p\cdot\vec r}{r^{3}}, onde \vec p é constante e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Pergunta: encontrar \vec E correspondente a cada potencial.
Potencial em coordenadas cilíndricas:
V(\rho,\varphi,z)=-\dfrac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\left(\dfrac{\rho}{\rho_{0}}\right).
Pergunta: encontrar \vec E em coordenadas cilíndricas.
Potencial com simetria esférica dado por partes (função só de r):
(a expressão foi dada no enunciado; trata-se de um potencial esfericamente simétrico). Pergunta: encontrar (\vec E] nas três regiões.
Observações: para campos eletrostáticos vale a relação
\vec E = -\nabla V,
onde \nabla é o operador gradiente apropriado na coordenada usada. Não inicio a resolução aqui; nos passos seguintes eu derivo passo a passo cada resultado e ensino as fórmulas usadas.]
Passo 2
Relembrando a definição operacional que usaremos (aula rápida e prática):
\vec E(\vec r) = -\nabla V(\vec r).
Em coordenadas cartesianas \nabla V = \hat{\imath}\,\dfrac{\partial V}{\partial x} + \hat{\jmath}\,\dfrac{\partial V}{\partial y} + \hat{k}\,\dfrac{\partial V}{\partial z}.
Em coordenadas esféricas, para funções que dependem apenas de r,
\nabla V(r)=\hat r\,\dfrac{dV}{dr}.
Explicação curta: \hat r é o versor radial (aponta para fora), e se V só depende de r então só há componente radial no gradiente. Em todas as situações usaremos \vec E=-\nabla V.
Passo 3
Primeiro potencial: V(x,y,z)=\dfrac{kq}{r} com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
É comum escrever \vec r / r^{3} = \dfrac{\hat r}{r^{2}}. Assim a forma usual é
\vec E(\vec r)=k\,\dfrac{q}{r^{2}}\;\hat r.
Lembrete: k normalmente é 1/(4\pi\varepsilon_{0}). Isso confirma o campo do ponto carga.
Passo 4
Segundo potencial (dipolo): V(\vec r)=k\,\dfrac{\vec p\cdot\vec r}{r^{3}}, com \vec p constante.
Estratégia: usar identidade do gradiente para produto escalar com função radial. Escreva V=k\,( \vec p\cdot\vec r)\,f(r) com f(r)=r^{-3}. Como \vec p é constante,
Isto vem da regra do produto com gradiente visto componente a componente (é análogo a \nabla(uv)=u\nabla v+v\nabla u, aqui u=\vec p\cdot\vec r, v=f(r)).
Calcule \nabla f(r) com f(r)=r^{-3}. Como f depende só de r,
\nabla f(r)=f'(r)\,\nabla r = f'(r)\,\frac{\vec r}{r}.
Forma alternativa usando \hat r=\vec r/r: note que (\vec p\cdot\vec r)=r(\vec p\cdot\hat r), e \vec r/r^{5}=\hat r/r^{4}, então simplifica para a forma habitual
\vec E(\vec r)=k\frac{1}{r^{3}}\!\left[3(\vec p\cdot\hat r)\,\hat r - \vec p\right].
Isso é a expressão padrão do campo de um dipolo elétrico no regime estático.
Observação: o potencial depende apenas de \rho (não depende de \varphi ou z). Portanto, na fórmula do gradiente cilíndrico só a derivada parcial em \rho contribui:
\nabla V = \hat\rho\,\frac{\partial V}{\partial \rho}.
\vec E = -\nabla V = -\hat\rho\,\frac{\partial V}{\partial \rho} = -\hat\rho\!\left(-\frac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{1}{\rho}\right) = \hat\rho\,\frac{\lambda_{0}}{2\pi\varepsilon_{0}\,\rho}.
Interpretação física rápida: campo radial (no sentido \hat\rho) decai como 1/\rho, como esperado para linha de carga infinita com densidade linear \lambda_{0}.
Observação importante: V depende só de r, logo \nabla V=\hat r\,\dfrac{dV}{dr} e \vec E=-\hat r\,\dfrac{dV}{dr}. Vou calcular \dfrac{dV}{dr} em cada região.
Região r<a:
O enunciado dá V=\dfrac{\rho_{0}}{3\varepsilon_{0}}\dfrac{3}{2}(b^{2}-a^{2}), que é uma constante (não depende de r). Logo
Interpretação física curta: campo radial, nulo no interior r<a, cresce linearmente com r menos o termo a^{3}/r^{2} na casca a<r<b, e para r>b o campo corresponde ao de uma carga total Q=\rho_{0}\frac{4\pi}{3}(b^{3}-a^{3}) concentrada no centro (decai como 1/r^{2}).]
Resposta
[\vec E(\vec r)=k,\dfrac{q,\vec r}{r{3}}=;k,\dfrac{q}{r{2}},\hat r.)