Calcule o gradiente das funções
f(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-z^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função \;f(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)e^{-z^{2}}\;.\n
Informações dadas importantes:
  • A função é dada explicitamente em termos de x, y e z.
  • O objetivo é obter o gradiente, que é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x, y e z.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (conceito passo a passo).\n
  • O gradiente de f é o vetor \nabla f cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação às variáveis:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Derivada parcial em relação a uma variável significa derivar tratando as outras como constantes. Vou calcular cada componente separadamente: \partial f/\partial x, \partial f/\partial y e \partial f/\partial z.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.\n
  • Observe que \;f(x,y,z)=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cdot e^{-z^{2}}\; é produto de duas funções: g(x,y)=x^{2}+y^{2} que depende só de x,y e h(z)=e^{-z^{2}} que depende só de z.
  • Ao derivar em relação a x, o fator h(z)=e^{-z^{2}} é constante (porque não depende de x). Então aplicamos a derivada apenas em g(x,y).
  • Derivada de g(x,y)=x^{2}+y^{2} em relação a x é 2x (pois y^{2} é tratado como constante).
  • Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\cdot e^{-z^{2}}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.\n
  • Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, ao derivar em relação a y o fator e^{-z^{2}} é constante.
  • Derivada de x^{2}+y^{2} em relação a y é 2y.
  • Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\cdot e^{-z^{2}}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} (a parte que pede mais cuidado: regra da cadeia).\n
  • Agora x^{2}+y^{2} é constante ao derivar em relação a z, e e^{-z^{2}} depende de z.
  • Precisamos usar a regra da cadeia para derivar e^{-z^{2}}. A regra da cadeia diz: se u(z)=-z^{2} então
\frac{d}{dz}e^{u(z)}=e^{u(z)}\cdot u'(z).
  • Aqui u(z)=-z^{2} e u'(z)=-2z.
  • Assim,
\frac{d}{dz}e^{-z^{2}}=e^{-z^{2}}\cdot(-2z)=-2z\,e^{-z^{2}}.
  • Como x^{2}+y^{2} é fator constante, multiplicamos:
\frac{\partial f}{\partial z}=(x^{2}+y^{2})\cdot\bigl(-2z\,e^{-z^{2}}\bigr)=-2z\,(x^{2}+y^{2})\,e^{-z^{2}}.

Passo 6

Juntar as componentes para formar o gradiente e simplificar/fatorar.\n
  • Reunindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,e^{-z^{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y\,e^{-z^{2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=-2z\,(x^{2}+y^{2})\,e^{-z^{2}}.
  • Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y,z)=\bigl(2x\,e^{-z^{2}},\;2y\,e^{-z^{2}},\;-2z\,(x^{2}+y^{2})\,e^{-z^{2}}\bigr).
  • Podemos também fatorar 2e^{-z^{2}} se quisermos uma forma mais compacta:
\nabla f(x,y,z)=2e^{-z^{2}}\bigl(x,\;y,\;-z(x^{2}+y^{2})\bigr).
  • Ambas as expressões representam o mesmo vetor; escolha a que ficar mais clara para você na prova.

Passo 7

Dica prática para a prova (rapidinha e motivadora).\n
  • Quando uma função é produto de algo que depende só de x,y e algo que depende só de z, as derivadas em x e y só “tocam” na parte que depende de x,y, e a derivada em z só “toca” na parte que depende de z. Facilita muito o trabalho — lembra disso e você ganha tempo! \n
  • Força aí, você tá indo bem — siga aplicar a regra: derivada parcial = derivar a parte que depende da variável e manter o resto como constante.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\bigl(2x\,e^{-z^{2}},\;2y\,e^{-z^{2}},\;-2z\,(x^{2}+y^{2})\,e^{-z^{2}}\bigr)

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