Calcule o gradiente das funções
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente da função
.\n
Informações dadas importantes:
Informações dadas importantes:
- A função é dada explicitamente em termos de
, e . - O objetivo é obter o gradiente, que é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a
, e .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá-lo (conceito passo a passo).\n
- O gradiente de
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de em relação às variáveis:
- Derivada parcial em relação a uma variável significa derivar tratando as outras como constantes. Vou calcular cada componente separadamente:
, e .
Passo 3
Cálculo de
.\n
- Observe que
é produto de duas funções: que depende só de e que depende só de . - Ao derivar em relação a
, o fator é constante (porque não depende de ). Então aplicamos a derivada apenas em . - Derivada de
em relação a é (pois é tratado como constante). - Logo,
Passo 4
Cálculo de
.\n
- Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, ao derivar em relação a
o fator é constante. - Derivada de
em relação a é . - Portanto,
Passo 5
Cálculo de
(a parte que pede mais cuidado: regra da cadeia).\n
- Agora
é constante ao derivar em relação a , e depende de . - Precisamos usar a regra da cadeia para derivar
. A regra da cadeia diz: se então
- Aqui
e . - Assim,
- Como
é fator constante, multiplicamos:
Passo 6
Juntar as componentes para formar o gradiente e simplificar/fatorar.\n
- Reunindo os resultados dos passos anteriores:
- Portanto o gradiente é
- Podemos também fatorar
se quisermos uma forma mais compacta:
- Ambas as expressões representam o mesmo vetor; escolha a que ficar mais clara para você na prova.
Passo 7
Dica prática para a prova (rapidinha e motivadora).\n
- Quando uma função é produto de algo que depende só de
e algo que depende só de , as derivadas em e só “tocam” na parte que depende de , e a derivada em só “toca” na parte que depende de . Facilita muito o trabalho — lembra disso e você ganha tempo! \n - Força aí, você tá indo bem — siga aplicar a regra: derivada parcial = derivar a parte que depende da variável e manter o resto como constante.