Três cartas são escolhidas sucessivamente, sem reposição, de um baralho de 52 cartas. Considere os seguintes eventos:
: a primeira carta é um às vermelho;
: a segunda carta é um 10 ou um valete;
: a terceira carta está entre 2 e 9 inclusive.
Calcule a probabilidade da interseção desses três eventos.
Dicas:
- Estenda a Regra da Multiplicação
fazendo
;
- Saiba que essa regra vale também para probabilidades condicionais, ou seja,
.
Calcule a probabilidade da interseção desses três eventos.
Dicas:
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, ao escolher três cartas sucessivamente sem reposição de um baralho de
cartas, ocorram simultaneamente os eventos:
-
: a primeira carta é um ás vermelho; -
: a segunda carta é um ou um valete; -
: a terceira carta está entre e inclusive.
Informações fornecidas e contagens úteis (retiradas do baralho padrão):
- Total de cartas:
. - Cartas que são ás vermelho:
(ás de copas e ás de ouros). - Cartas que são
ou valete (valete = jack): . - Cartas com valor entre
e inclusive: valores naipes .
Objetivo claro: calcular
.
Passo 2
Ferramenta principal (Regra da Multiplicação estendida): para três eventos vale a decomposição
Explicando em palavras: a probabilidade dos três ocorrerem é a probabilidade do primeiro ocorrer multiplicada pela probabilidade do segundo ocorrer dado que o primeiro ocorreu, multiplicada pela probabilidade do terceiro ocorrer dado que os dois primeiros ocorreram.
Também lembrar a definição prática de probabilidade em problemas de contagem sem reposição: se há
cartas possíveis e
favoráveis, então a probabilidade é
. Quando uma carta é retirada sem reposição, o total diminui e, possivelmente, o número de favoráveis também.
Passo 3
Calcular
.
Há
ases vermelhos em
cartas, logo
Interpretando: escolhe-se uma carta ao acaso; a chance de ser um dos
ases vermelhos é
casos favoráveis entre
possíveis.
Passo 4
Calcular
.
Supondo que
ocorreu, já foi retirada uma carta (um ás vermelho). Restam
cartas. Entre essas
cartas, quantos são
ou valete? A primeira carta foi um ás, que não é
nem valete, portanto nenhum dos
cartões
/valete foi removido. Assim permanecem
favoráveis entre
cartas restantes:
Passo 5
Calcular
.
Supondo que
e
ocorreram: foram retiradas duas cartas — um ás vermelho e um
ou valete. Restam
cartas. Quantas das cartas entre
e
ainda existem? Inicialmente havia
cartas nos valores
a
. Nem um ás nem um
/valete pertencem aos valores
a
, logo nenhuma das
foi removida. Assim permanecem
favoráveis entre
cartas restantes:
Passo 6
Multiplicar as três probabilidades conforme a regra:
Agora simplificar passo a passo:
Dividindo numerador e denominador por
:
Dividindo por
:
O numerador
é potência de
e
é ímpar, logo essa fração já está irredutível.
Como aproximação decimal (útil para intuição):