Três cartas são escolhidas sucessivamente, sem reposição, de um baralho de 52 cartas. Considere os seguintes eventos:
C_{1} : a primeira carta é um às vermelho;
C_{2} : a segunda carta é um 10 ou um valete;
C_{3} : a terceira carta está entre 2 e 9 inclusive.
Calcule a probabilidade da interseção desses três eventos.
Dicas:
  1. Estenda a Regra da Multiplicação P(A \cap B)=P(A) P(B \mid A) fazendo B=C_{2} \cap C_{3};
  2. Saiba que essa regra vale também para probabilidades condicionais, ou seja,
    P[(A \cap B) \mid C]=P[A \mid C)] P[B \mid(A \cap C)].

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao escolher três cartas sucessivamente sem reposição de um baralho de 52 cartas, ocorram simultaneamente os eventos:
  • C_{1}: a primeira carta é um ás vermelho;
  • C_{2}: a segunda carta é um 10 ou um valete;
  • C_{3}: a terceira carta está entre 2 e 9 inclusive.
Informações fornecidas e contagens úteis (retiradas do baralho padrão):
  • Total de cartas: 52.
  • Cartas que são ás vermelho: 2 (ás de copas e ás de ouros).
  • Cartas que são 10 ou valete (valete = jack): 4+4=8.
  • Cartas com valor entre 2 e 9 inclusive: 8 valores \times 4 naipes =32.
Objetivo claro: calcular P(C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}).

Passo 2

Ferramenta principal (Regra da Multiplicação estendida): para três eventos vale a decomposição
P(C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3})=P(C_{1})\;P(C_{2}\mid C_{1})\;P(C_{3}\mid C_{1}\cap C_{2}).
Explicando em palavras: a probabilidade dos três ocorrerem é a probabilidade do primeiro ocorrer multiplicada pela probabilidade do segundo ocorrer dado que o primeiro ocorreu, multiplicada pela probabilidade do terceiro ocorrer dado que os dois primeiros ocorreram.
Também lembrar a definição prática de probabilidade em problemas de contagem sem reposição: se há N cartas possíveis e n favoráveis, então a probabilidade é n/N. Quando uma carta é retirada sem reposição, o total diminui e, possivelmente, o número de favoráveis também.

Passo 3

Calcular P(C_{1}).
2 ases vermelhos em 52 cartas, logo
P(C_{1})=\dfrac{2}{52}.
Interpretando: escolhe-se uma carta ao acaso; a chance de ser um dos 2 ases vermelhos é 2 casos favoráveis entre 52 possíveis.

Passo 4

Calcular P(C_{2}\mid C_{1}).
Supondo que C_{1} ocorreu, já foi retirada uma carta (um ás vermelho). Restam 51 cartas. Entre essas 51 cartas, quantos são 10 ou valete? A primeira carta foi um ás, que não é 10 nem valete, portanto nenhum dos 8 cartões 10/valete foi removido. Assim permanecem 8 favoráveis entre 51 cartas restantes:
P(C_{2}\mid C_{1})=\dfrac{8}{51}.

Passo 5

Calcular P(C_{3}\mid C_{1}\cap C_{2}).
Supondo que C_{1} e C_{2} ocorreram: foram retiradas duas cartas — um ás vermelho e um 10 ou valete. Restam 50 cartas. Quantas das cartas entre 2 e 9 ainda existem? Inicialmente havia 32 cartas nos valores 2 a 9. Nem um ás nem um 10/valete pertencem aos valores 2 a 9, logo nenhuma das 32 foi removida. Assim permanecem 32 favoráveis entre 50 cartas restantes:
P(C_{3}\mid C_{1}\cap C_{2})=\dfrac{32}{50}.

Passo 6

Multiplicar as três probabilidades conforme a regra:
P(C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}) = \left(\dfrac{2}{52}\right) \left(\dfrac{8}{51}\right) \left(\dfrac{32}{50}\right).
Agora simplificar passo a passo:
\dfrac{2\cdot 8\cdot 32}{52\cdot 51\cdot 50} = \dfrac{512}{132600}.
Dividindo numerador e denominador por 4:
\dfrac{512}{132600}=\dfrac{128}{33150}.
Dividindo por 2:
\dfrac{128}{33150}=\dfrac{64}{16575}.
O numerador 64 é potência de 2 e 16575 é ímpar, logo essa fração já está irredutível.
Como aproximação decimal (útil para intuição):
\dfrac{64}{16575}\approx 0,00386.

Resposta

\dfrac{64}{16575}\approx0,00386

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