(Probability and statistics for computer science) (Quebrando senhas). A partir de um alfabeto composto por 10 dígitos, 26 minúsculas e 26 maiúsculas, pode-se criar \operatorname{Perm}(62,8)=218.340 .105 .584 .896 (mais de 218 trilhões) diferentes senhas de 8 caracteres. A uma velocidade de 1 milhão de senhas por segundo, um programa espião levará quase 7 anos para testar todas elas. Assim, em média, ele adivinhará sua senha em cerca de 3,5 anos. Qual a probabilidade de que ele adivinhe sua senha em 1 semana.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • O número total de senhas possíveis de 8 caracteres é N=\operatorname{Perm}(62,8)=218\,340\,105\,584\,896.
  • A velocidade de tentativa é de 1 milhão de senhas por segundo, isto é, 10^{6} tentativas por segundo.
  • Queremos saber a probabilidade de que o programa espião adivinhe a senha dentro de 1 semana.

Passo 2

Calcular quantas tentativas cabem em uma semana.
  • Uma semana tem 7 dias, cada dia tem 24 horas, cada hora tem 3600 segundos. Logo o número de segundos em uma semana é
7\cdot24\cdot3600=604800.
  • Número de tentativas em uma semana G é
G=10^{6}\cdot604800=604800000000=6,048\times10^{11}.

Passo 3

Entender o modelo de probabilidade (explicação didática).
  • O atacante testa senhas sem repetição (cada tentativa é uma senha distinta). Podemos imaginar que o atacante fixa uma ordem para testar todas as N senhas; a senha correta está numa posição aleatória dessa ordem, igualmente provável em qualquer uma das N posições.
  • Assim, a probabilidade de que a senha correta apareça entre as primeiras G tentativas é simplesmente a fração
\frac{G}{N},
porque há G posições de sucesso possíveis entre N posições igualmente prováveis.
  • (Outra forma equivalente, só para entender: a probabilidade de falhar nas G tentativas seguidas é \dfrac{\binom{N-1}{G}}{\binom{N}{G}}=\dfrac{N-G}{N}, então a probabilidade de sucesso é 1-\dfrac{N-G}{N}=\dfrac{G}{N}.)

Passo 4

Aplicar a fórmula e calcular numericamente.
  • Temos
p=\frac{G}{N}=\frac{604800000000}{218340105584896}.
  • Colocando em notação aproximada e dividindo,
p\approx0,002770\quad(\text{aprox.}).
  • Em porcentagem isso é
p\approx0,277\%\\ .

Passo 5

Interpretação rápida e incentivo
  • Isso significa que, com 1 milhão de tentativas por segundo, a chance de acertar a senha em uma semana é muito baixa: cerca de 0,277\% — menos de 1\%.
  • Vai dar tudo certo no estudo — foco nas partes mais prováveis de cair na prova e pratica resolvendo questões passo a passo como esta!

Resposta

\dfrac{604800000000}{218340105584896}\approx0,002770\approx0,277\%

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