(Probability and statistics for computer science) Entre os funcionários de uma determinada empresa, 70 \% conhecem C/C++, 60 \% conhecem Fortran e 50 \% conhecem ambas as línguagem. Que parte dos programadores
(a) não conhece Fortran?
(b) não conhece Fortran e não conhece \mathrm{C} / \mathrm{C}++ ?
(c) conhece \mathrm{C} / \mathrm{C}++ mas não Fortran?
(d) conhece Fortran, mas não \mathrm{C} / \mathrm{C}++ ?
(e) Se alguém conhece Fortran, qual é a probabilidade de que ele/ela também conheça \mathrm{C} / \mathrm{C}++ ?
(f) Se alguém conhece \mathrm{C} / \mathrm{C}++, qual é a probabilidade de que ele/ela também conheça Fortran?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • 70\% conhecem C/C++.
    • 60\% conhecem Fortran.
    • 50\% conhecem ambas as linguagens.
  • Perguntas (cada uma pede a “parte dos programadores”, ou seja, a proporção/população em porcentagem):
    (a) Qual a parte que não conhece Fortran?
    (b) Qual a parte que não conhece Fortran e não conhece C/C++ (ou seja, não conhece nenhuma das duas)?
    (c) Qual a parte que conhece C/C++ mas não conhece Fortran?
    (d) Qual a parte que conhece Fortran mas não conhece C/C++?
    (e) Se alguém conhece Fortran, qual a probabilidade de que essa pessoa também conheça C/C++?
    (f) Se alguém conhece C/C++, qual a probabilidade de que essa pessoa também conheça Fortran?

Passo 2

Vou introduzir notação e as fórmulas que vamos usar, explicando tudo devagarinho.
  • Notação:
    • C = evento “conhece C/C++”.
    • F = evento “conhece Fortran”.
    • P\text{(C)} = parte (probabilidade/proporção) que conhece C/C++.
    • P(F) = parte que conhece Fortran.
    • P(C\cap F) = parte que conhece ambas.
    • P(\text{não }F)ã = parte que não conhece Fortran.
    • P(C\mid F) = probabilidade condicional: probabilidade de conhecer C/C++ dado que conhece Fortran.
  • Valores dados em forma decimal (mais prático para contas):
    • P\text{(C)}=0,70 (porque 70\%=0,70).
    • P(F)=0,60.
    • P(C\cap F)=0,50.
  • Fórmulas úteis:
    1. Complemento: P(\text{não }F)=1-P(F)ã. Aqui 1 significa toda a população (100%).
      • Explicação: se 60\% conhecem Fortran, o resto (100% menos 60%) não conhece.
    2. União (fórmula da inclusão-exclusão): P(C\cup F)=P\text{(C)}+P(F)-P(C\cap F).
      • Explicação: C\cup F é o conjunto que conhece pelo menos uma das linguagens; somando P\text{(C)} e P(F) contamos duas vezes os que conhecem ambas, por isso subtrai-se P(C\cap F).
    3. Probabilidade de “nenhum”: P(\text{não }C \text{ e não }F)=1-P(C\cup F)ãã.
      • Explicação: quem não conhece nem C nem F é o complemento do conjunto que conhece pelo menos uma.
    4. Partes exclusivas (conhece C mas não F, etc.): P(C\\ \text{e não }F)=P\text{(C)}-P(C\cap F), \qquad P(F\\ \text{e não }C)=P(F)-P(C\cap F).ãã
      • Explicação: da parte que conhece C subtrai-se quem conhece também F.
    5. Probabilidade condicional (definição): P(C\mid F)=\frac{P(C\cap F)}{P(F)},\qquad P(F\mid C)=\frac{P(C\cap F)}{P\text{(C)}}.
      • Explicação: dentre as pessoas que conhecem F (isto é, considerando apenas esse subgrupo), a fração que também conhece C é a interseção dividida pelo total de F.
Vou aplicar essas fórmulas com os números fornecidos.

Passo 3

Resposta da letra (a): parte que não conhece Fortran.
Usando o complemento:
P(\text{não }F)=1-P(F)=1-0,60=0,40.ã
Isto é, 40\% não conhecem Fortran.

Passo 4

Resposta da letra (b): parte que não conhece Fortran e não conhece C/C++ (não conhece nenhuma das duas).
Primeiro calculamos a união P(C\cup F) usando inclusão-exclusão:
P(C\cup F)=P\text{(C)}+P(F)-P(C\cap F)=0,70+0,60-0,50=0,80.
A parte que conhece pelo menos uma é 80\%. Portanto a parte que não conhece nenhuma é o complemento:
P(\text{não }C\\ \text{e}\\ \text{não }F)=1-P(C\cup F)=1-0,80=0,20.ãã
Ou seja, 20\% conhecem nenhuma das duas.

Passo 5

Resposta das letras (c) e (d): partes exclusivas.
(c) Conhece C mas não Fortran:
P(C\\ \text{e não }F)=P\text{(C)}-P(C\cap F)=0,70-0,50=0,20.ã
Logo 20\%.
(d) Conhece Fortran mas não C:
P(F\\ \text{e não }C)=P(F)-P(C\cap F)=0,60-0,50=0,10.ã
Logo 10\%.
(Nota interpretativa rápida estilo Venn: as três partes não sobrepostas são 20\% só C, 10\% só F, e 50\% ambas — somam 80\% que conhecem pelo menos uma; os 20\% restantes conhecem nenhuma.)

Passo 6

Resposta das letras (e) e (f): probabilidades condicionais.
(e) Se alguém conhece Fortran, probabilidade de que também conheça C/C++:
P(C\mid F)=\frac{P(C\cap F)}{P(F)}=\frac{0,50}{0,60}=\frac{5}{6}\approx0,8333\ldots
Ou seja, cerca de 83{,}33\%.
(f) Se alguém conhece C/C++, probabilidade de que também conheça Fortran:
P(F\mid C)=\frac{P(C\cap F)}{P\text{(C)}}=\frac{0,50}{0,70}=\frac{5}{7}\approx0,7142857\ldots
Ou seja, cerca de 71{,}43\%.

Resposta

(a) 40\%
(b) 20\%
(c) 20\%
(d) 10\%
(e) P(C\mid F)=\dfrac{5}{6}\approx83{,}33\%
(f) P(F\mid C)=\dfrac{5}{7}\approx71{,}43\%

Exercícios relacionados