(Probability and statistics for computer science) Entre os funcionários de uma determinada empresa,
conhecem C/C++,
conhecem Fortran e
conhecem ambas as línguagem. Que parte dos programadores
(a) não conhece Fortran?
(b) não conhece Fortran e não conhece
?
(c) conhece
mas não Fortran?
(d) conhece Fortran, mas não
?
(e) Se alguém conhece Fortran, qual é a probabilidade de que ele/ela também conheça
?
(f) Se alguém conhece
, qual é a probabilidade de que ele/ela também conheça Fortran?
(a) não conhece Fortran?
(b) não conhece Fortran e não conhece
(c) conhece
(d) conhece Fortran, mas não
(e) Se alguém conhece Fortran, qual é a probabilidade de que ele/ela também conheça
(f) Se alguém conhece
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados fornecidos:
-
conhecem C/C++. -
conhecem Fortran. -
conhecem ambas as linguagens.
-
-
Perguntas (cada uma pede a “parte dos programadores”, ou seja, a proporção/população em porcentagem):
(a) Qual a parte que não conhece Fortran?
(b) Qual a parte que não conhece Fortran e não conhece C/C++ (ou seja, não conhece nenhuma das duas)?
(c) Qual a parte que conhece C/C++ mas não conhece Fortran?
(d) Qual a parte que conhece Fortran mas não conhece C/C++?
(e) Se alguém conhece Fortran, qual a probabilidade de que essa pessoa também conheça C/C++?
(f) Se alguém conhece C/C++, qual a probabilidade de que essa pessoa também conheça Fortran?
Passo 2
Vou introduzir notação e as fórmulas que vamos usar, explicando tudo devagarinho.
-
Notação:
-
= evento “conhece C/C++”. -
= evento “conhece Fortran”. -
= parte (probabilidade/proporção) que conhece C/C++. -
= parte que conhece Fortran. -
= parte que conhece ambas. -
= parte que não conhece Fortran. -
= probabilidade condicional: probabilidade de conhecer C/C++ dado que conhece Fortran.
-
-
Valores dados em forma decimal (mais prático para contas):
-
(porque ). -
. -
.
-
-
Fórmulas úteis:
- Complemento:
. Aqui significa toda a população (100%). - Explicação: se
conhecem Fortran, o resto (100% menos 60%) não conhece.
- Explicação: se
- União (fórmula da inclusão-exclusão):
- Explicação:
é o conjunto que conhece pelo menos uma das linguagens; somando e contamos duas vezes os que conhecem ambas, por isso subtrai-se .
- Explicação:
- Probabilidade de “nenhum”:
. - Explicação: quem não conhece nem C nem F é o complemento do conjunto que conhece pelo menos uma.
- Partes exclusivas (conhece
mas não , etc.): - Explicação: da parte que conhece
subtrai-se quem conhece também .
- Explicação: da parte que conhece
- Probabilidade condicional (definição):
- Explicação: dentre as pessoas que conhecem
(isto é, considerando apenas esse subgrupo), a fração que também conhece é a interseção dividida pelo total de .
- Explicação: dentre as pessoas que conhecem
- Complemento:
Vou aplicar essas fórmulas com os números fornecidos.
Passo 3
Resposta da letra (a): parte que não conhece Fortran.
Usando o complemento:
Isto é,
não conhecem Fortran.
Passo 4
Resposta da letra (b): parte que não conhece Fortran e não conhece C/C++ (não conhece nenhuma das duas).
Primeiro calculamos a união
usando inclusão-exclusão:
A parte que conhece pelo menos uma é
. Portanto a parte que não conhece nenhuma é o complemento:
Ou seja,
conhecem nenhuma das duas.
Passo 5
Resposta das letras (c) e (d): partes exclusivas.
(c) Conhece
mas não Fortran:
Logo
.
(d) Conhece Fortran mas não
:
Logo
.
(Nota interpretativa rápida estilo Venn: as três partes não sobrepostas são
só C,
só F, e
ambas — somam
que conhecem pelo menos uma; os
restantes conhecem nenhuma.)
Passo 6
Resposta das letras (e) e (f): probabilidades condicionais.
(e) Se alguém conhece Fortran, probabilidade de que também conheça C/C++:
Ou seja, cerca de
.
(f) Se alguém conhece C/C++, probabilidade de que também conheça Fortran:
Ou seja, cerca de
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)