Três cavalos \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} estão numa corrida. Sabe-se que A é duas vezes mais provável de ganhar que B , e este é duas vezes mais que C. Determinar as probabilidades de ganhar dos cavalos \mathrm{A}, \mathrm{B} ~ \mathrm{e} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as probabilidades de ganhar dos cavalos A, B e C, dadas as informações seguintes:
  • A é duas vezes mais provável de ganhar do que B.
  • B é duas vezes mais provável de ganhar do que C.
  • Há exatamente um vencedor (ou seja, as probabilidades de A, B e C somam 1).
    Liste das informações relevantes:
  • Queremos P(A), P(B) e P\text{(C)}.
  • Relações dadas: P(A)=2\cdot P(B) e P(B)=2\cdot P\text{(C)}.
  • Soma das probabilidades: P(A)+P(B)+P\text{(C)}=1.

Passo 2

Definimos variáveis claras para trabalhar:
  • Seja p_A = P(A).
  • Seja p_B = P(B).
  • Seja p_C = P\text{(C)}.
Reescrevendo as relações do enunciado com essas variáveis:
p_A = 2p_B
p_B = 2p_C
e a condição de soma:
p_A + p_B + p_C = 1.

Passo 3

Vamos reduzir tudo a uma única variável para poder resolver. A segunda equação dá diretamente p_B em função de p_C:
p_B = 2p_C.
Substituímos isso na primeira equação para obter p_A em função de p_C:
p_A = 2p_B = 2\cdot(2p_C) = 4p_C.
Agora expressamos as três probabilidades em função de p_C:
p_A = 4p_C,\qquad p_B = 2p_C,\qquad p_C = p_C.

Passo 4

Usamos a condição de soma das probabilidades para encontrar p_C. Substituímos as expressões em função de p_C na soma:
p_A + p_B + p_C = 4p_C + 2p_C + p_C = 7p_C.
Como a soma deve ser 1, temos a equação
7p_C = 1.
Resolvendo para p_C:
p_C = \frac{1}{7}.
Breve explicação do passo: isso é apenas resolver uma equação linear simples. Somamos os coeficientes (4, 2 e 1) que multiplicam p_C e dividimos 1 por esse total.

Passo 5

Agora calculamos p_B e p_A usando p_C=\dfrac{1}{7}:
p_B = 2p_C = 2\cdot\frac{1}{7} = \frac{2}{7}.
p_A = 4p_C = 4\cdot\frac{1}{7} = \frac{4}{7}.
Verificação rápida: somando \dfrac{4}{7}+\dfrac{2}{7}+\dfrac{1}{7}=\dfrac{7}{7}=1, consistente.

Passo 6

Interpretação intuitiva e método alternativo (útil na prova): as probabilidades são proporcionais às razões dadas. A razão entre p_A:p_B:p_C é 4:2:1 (porque p_B=2p_C e p_A=2p_B p_A=4p_C). Para converter uma razão r_A:r_B:r_C em probabilidades, divide-se cada r pela soma r_A+r_B+r_C. Aqui a soma é 4+2+1=7, então p_A=4/7, p_B=2/7, p_C=1/7. Esse método é rápido para prova e evita montar equações sempre que lidamos com “x vezes mais provável”.

Resposta

P(A)=\dfrac{4}{7}
P(B)=\dfrac{2}{7}
P\text{(C)}=\dfrac{1}{7}

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