Três crianças, cada uma pesando 80 lb , constroem uma jangada amarrando troncos de 1,0 pé de diâmetro e 6,0 pés de comprimento. Quantos troncos serão necessários para que a jangada as sustente? Tome a densidade da madeira como sendo
pés
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede quantos troncos são necessários para sustentar as três crianças:
- Três crianças, cada uma pesando
. - Comprimento de cada tronco:
. - Diâmetro de cada tronco:
. - Densidade da madeira:
.
O que se quer: o número mínimo de troncos (inteiro) necessários para que a jangada suporte o peso total das três crianças.
Passo 2
Conceito físico fundamental (com explicação): a força de empuxo (buoyant force) vem do Princípio de Arquimedes. Ele diz que o empuxo sobre um corpo imerso em um fluido é igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo.
- Em palavras mais simples: se um tronco desloca um volume
de água, o empuxo vale , onde é o peso específico da água (em unidades de ). - Para o sistema troncos + crianças flutuando em equilíbrio, o empuxo total (peso da água deslocada pelos troncos) deve igualar o peso total (peso das crianças + peso da madeira dos troncos).
Assim, a capacidade útil de sustentação de cada tronco (o quanto de carga extra ele pode carregar além do próprio peso) é a diferença entre o empuxo máximo que pode gerar (se estiver totalmente submerso) e o próprio peso do tronco. Esse valor por tronco será usado para suportar o peso das crianças.
Passo 3
Calcular o volume de um tronco (cilindro). A fórmula do volume de um cilindro é
onde
é o raio e
é o comprimento.
Aqui o diâmetro é
, logo o raio é
. O comprimento é
. Substituindo:
Se for útil, isso numericamente é aproximadamente
Passo 4
Calcular o peso (peso próprio) de cada tronco. Usa-se a densidade da madeira dada (
) multiplicada pelo volume:
Numericamente,
Isso é o quanto pesa um tronco sozinho.
Passo 5
Escolher o valor do peso específico da água (assunção padrão): para água doce usa-se
. Vou usar esse valor (é o valor padrão em problemas nos EUA e em livros).
O empuxo máximo que um tronco pode fornecer (quando totalmente submerso, deslocando todo o seu volume) é
Numericamente,
A capacidade útil (payload) que cada tronco pode oferecer para carregar pessoas é a diferença entre o empuxo (peso de água deslocada) e o próprio peso do tronco:
Substituindo os termos simbólicos anteriores:
Numericamente:
E isso dá aproximadamente
Interpretação: cada tronco, além de sustentar o seu próprio peso, pode suportar cerca de
de carga adicional (pessoas, bagagem, etc.) antes de ficar totalmente submerso.
Passo 6
Calcular o peso que precisa ser sustentado pelas capacidades extras dos troncos: as três crianças juntas pesam
Se cada tronco entrega uma capacidade útil de aproximadamente
, o número mínimo
de troncos deve satisfazer
Resolvendo para
:
Para avaliar numericamente:
Como não podemos usar uma fração de tronco na jangada, devemos arredondar para cima (precisamos de um número inteiro que garanta segurança). Portanto escolhemos
.
Passo 7
Verificação rápida por conta: com
troncos a capacidade total seria
logo insuficiente. Com
troncos:
logo suficiente e com margem de segurança. Isso confirma o arredondamento para
.