Três crianças, cada uma pesando 80 lb , constroem uma jangada amarrando troncos de 1,0 pé de diâmetro e 6,0 pés de comprimento. Quantos troncos serão necessários para que a jangada as sustente? Tome a densidade da madeira como sendo 50 \mathrm{lb} / pés ^{3}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede quantos troncos são necessários para sustentar as três crianças:
  • Três crianças, cada uma pesando 80\\ \text{lb}.
  • Comprimento de cada tronco: 6,0\\ \text{ft}.
  • Diâmetro de cada tronco: 1,0\\ \text{ft}.
  • Densidade da madeira: 50\\ \text{lb/ft}^3.
O que se quer: o número mínimo de troncos (inteiro) necessários para que a jangada suporte o peso total das três crianças.

Passo 2

Conceito físico fundamental (com explicação): a força de empuxo (buoyant force) vem do Princípio de Arquimedes. Ele diz que o empuxo sobre um corpo imerso em um fluido é igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo.
  • Em palavras mais simples: se um tronco desloca um volume V_s de água, o empuxo vale \rho_{\text{água}} \cdot V_sá, onde \rho_{\text{água}}á é o peso específico da água (em unidades de \text{lb/ft}^3).
  • Para o sistema troncos + crianças flutuando em equilíbrio, o empuxo total (peso da água deslocada pelos troncos) deve igualar o peso total (peso das crianças + peso da madeira dos troncos).
Assim, a capacidade útil de sustentação de cada tronco (o quanto de carga extra ele pode carregar além do próprio peso) é a diferença entre o empuxo máximo que pode gerar (se estiver totalmente submerso) e o próprio peso do tronco. Esse valor por tronco será usado para suportar o peso das crianças.

Passo 3

Calcular o volume de um tronco (cilindro). A fórmula do volume de um cilindro é
V = \pi r^{2} L,
onde r é o raio e L é o comprimento.
Aqui o diâmetro é 1,0\\ \text{ft}, logo o raio é r=\dfrac{1,0}{2}=0,5\\ \text{ft}. O comprimento é L=6,0\\ \text{ft}. Substituindo:
V_{\text{tronco}} = \pi \cdot (0,5)^2 \cdot 6,0 = \pi \cdot 0,25 \cdot 6,0 = 1,5\pi\\ \text{ft}^3.
Se for útil, isso numericamente é aproximadamente
V_{\text{tronco}} \approx 1,5\cdot 3{,}14159 \approx 4{,}71\\ \text{ft}^3.

Passo 4

Calcular o peso (peso próprio) de cada tronco. Usa-se a densidade da madeira dada ( 50\\ \text{lb/ft}^3) multiplicada pelo volume:
W_{\text{madeira, por tronco}} = \rho_{\text{madeira}} \cdot V_{\text{tronco}} = 50 \cdot 1{,}5\pi = 75\pi\\ \text{lb}.
Numericamente,
W_{\text{madeira, por tronco}} \approx 75\cdot 3{,}14159 \approx 235{,}62\\ \text{lb}.
Isso é o quanto pesa um tronco sozinho.

Passo 5

Escolher o valor do peso específico da água (assunção padrão): para água doce usa-se \rho_{\text{água}} = 62{,}4\\ \text{lb/ft}^3á. Vou usar esse valor (é o valor padrão em problemas nos EUA e em livros).
O empuxo máximo que um tronco pode fornecer (quando totalmente submerso, deslocando todo o seu volume) é
B_{\text{máx, por tronco}} = \rho_{\text{água}} \cdot V_{\text{tronco}} = 62{,}4 \cdot 1{,}5\pi = 93{,}6\pi\\ \text{lb}.áá
Numericamente,
B_{\text{máx, por tronco}} \approx 93{,}6\cdot 3{,}14159 \approx 293{,}09\\ \text{lb}.á
A capacidade útil (payload) que cada tronco pode oferecer para carregar pessoas é a diferença entre o empuxo (peso de água deslocada) e o próprio peso do tronco:
\text{capacidade por tronco} = B_{\text{máx, por tronco}} - W_{\text{madeira, por tronco}}.á
Substituindo os termos simbólicos anteriores:
\text{capacidade por tronco} = (\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{madeira}})\cdot V_{\text{tronco}}.á
Numericamente:
\text{capacidade por tronco} = (62{,}4 - 50)\cdot 1{,}5\pi = 12{,}4\cdot 1{,}5\pi = 18{,}6\pi\\ \text{lb}.
E isso dá aproximadamente
\text{capacidade por tronco} \approx 18{,}6\cdot 3{,}14159 \approx 58{,}45\\ \text{lb}.
Interpretação: cada tronco, além de sustentar o seu próprio peso, pode suportar cerca de 58{,}45\\ \text{lb} de carga adicional (pessoas, bagagem, etc.) antes de ficar totalmente submerso.

Passo 6

Calcular o peso que precisa ser sustentado pelas capacidades extras dos troncos: as três crianças juntas pesam
W_{\text{crianças}} = 3\cdot 80\\ \text{lb} = 240\\ \text{lb}.ç
Se cada tronco entrega uma capacidade útil de aproximadamente 58{,}45\\ \text{lb}, o número mínimo n de troncos deve satisfazer
n \cdot 18{,}6\pi \ge 240.
Resolvendo para n:
n \ge \dfrac{240}{18{,}6\pi}.
Para avaliar numericamente:
n \ge \dfrac{240}{58{,}45} \approx 4{,}11.
Como não podemos usar uma fração de tronco na jangada, devemos arredondar para cima (precisamos de um número inteiro que garanta segurança). Portanto escolhemos n=5.

Passo 7

Verificação rápida por conta: com 4 troncos a capacidade total seria
4\cdot 58{,}45 \approx 233{,}8\\ \text{lb} < 240\\ \text{lb},
logo insuficiente. Com 5 troncos:
5\cdot 58{,}45 \approx 292{,}25\\ \text{lb} > 240\\ \text{lb},
logo suficiente e com margem de segurança. Isso confirma o arredondamento para 5.

Resposta

5 troncos

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