Duas ondas transversais se propagam em uma corda e são representadas pelas funções y_{1} e y_{2}
y_{1}(x, t)=A_{1} \cos (k x-w t+\varphi) \quad ; \quad y_{2}(x, t)=A_{2} \cos (k x+a w t),
onde a e \varphi são constantes adimensionais.
a) Determine um conjunto de possíveis valores de a e \varphi, e a relação entre as amplitudes A_{1} e A_{2}, para que a interferência entre as ondas y_{1} e y_{2} resulte em intensidade nula em toda a corda e em todo instante.
b) Para o caso A_{1}=A_{2}, discuta as condições necessárias para se ter uma onda estacionária, com nó em x=0. Obtenha a função da amplitude da onda resultante com a posição para este caso.

Passo 1

O enunciado dá duas ondas na corda:
y_{1}(x,t)=A_{1}\cos(kx-\omega t+\varphi),
y_{2}(x,t)=A_{2}\cos(kx+a\omega t),
onde a e \varphi são constantes sem dimensão e A_{1},A_{2} são amplitudes (constantes).
O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar valores possíveis de a e \varphi e a relação entre A_{1} e A_{2} tais que a interferência entre y_{1} e y_{2} resulte em intensidade nula em toda a corda e em todo instante (ou seja, y_{1}+y_{2}\equiv 0 para todo x,t).
  • (b) No caso A_{1}=A_{2}, discutir as condições para obter uma onda estacionária com nó em x=0 e obter a função da amplitude espacial da onda resultante.
Listei as informações relevantes: expressões de y_{1} e y_{2}, parâmetros a,\varphi, e a condição desejada y_{1}+y_{2}=0 para todo x,t. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Entender matematicamente a condição “intensidade nula em toda a corda e em todo instante”: isto significa que a soma das duas ondas é identicamente zero:
y(x,t)=y_{1}+y_{2}=A_{1}\cos(kx-\omega t+\varphi)+A_{2}\cos(kx+a\omega t)\equiv 0\quad\text{para todo }x,t.
Para que uma soma de cossenos dependente de x e t seja identicamente zero, as duas funções trigonométricas devem ter argumentos relacionados de modo que a dependência em x,t se torne a mesma (ou seja, uma diferença de fase constante), caso contrário não há como cancelar para todos t e x. Portanto, vamos analisar a diferença entre os argumentos das cossenos.

Passo 3

Calcule a diferença entre os argumentos das cossenos. Denotando
u=kx-\omega t+\varphi,\qquad v=kx+a\omega t,
temos
v-u=(kx+a\omega t)-(kx-\omega t+\varphi)=\omega t(a+1)-\varphi.
Para que v-u seja independente do tempo t (ou seja, constante) é necessário que o coeficiente de t seja zero. Assim é necessário
a+1=0\quad\Rightarrow\quad a=-1.
Portanto, se quisermos anular a soma para todo x,t de forma não-trivial, devemos ter a=-1. (Observação: existe a solução trivial A_{1}=A_{2}=0 que também dá soma zero, mas não é fisicamente interessante.)

Passo 4

Com a=-1 os argumentos ficam relacionados por uma diferença constante:
v-u=\omega t(-1+1)-\varphi=-\varphi,
ou seja
\cos(kx+a\omega t)=\cos(kx-\omega t)=\cos(u-\varphi).
A soma torna-se
y=A_{1}\cos u + A_{2}\cos(u-\varphi).
Agora vamos usar uma identidade trigonométrica para escrever \cos(u-\varphi):
\cos(u-\varphi)=\cos u\cos\varphi+\sin u\sin\varphi.
Substituindo na soma:
y=(A_{1}+A_{2}\cos\varphi)\cos u + A_{2}\sin\varphi\;\sin u.

Passo 5

Para que y\equiv 0\) para todo \(u\) (e portanto para todo \(x,t\)), os coeficientes de \(\cos u\) e de \(\sin u\) devem ser zero simultaneamente. Obtemos o sistema \[\begin{cases} A_{1}+A_{2}\cos\varphi=0,\\[4pt] A_{2}\sin\varphi=0. \end{cases}
Analise das possibilidades:
  • Se A_{2}=0\], então da primeira equação vem \(A_{1}=0. Isso é a solução trivial A_{1}=A_{2}=0.
  • Se A_{2}\neq 0, então da segunda equação segue \sin\varphi=0, isto é
\varphi=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Com \varphi=n\pi temos \cos\varphi=\cos(n\pi)=(-1)^{n}. A primeira equação fica
A_{1}+A_{2}(-1)^{n}=0\quad\Rightarrow\quad A_{1}=-A_{2}(-1)^{n}.
Isto pode ser escrito de forma equivalente dependendo de n:
  • para n par ( \varphi=2m\pi) temos \cos\varphi=1 e A_{1}=-A_{2};
  • para n ímpar ( \varphi=(2m+1)\pi) temos \cos\varphi=-1 e A_{1}=A_{2}.
Em termos físicos: a condição não-trivial (não nula) é a=-1, \varphi=n\pi e A_{1}=-A_{2}(-1)^{n}. Em particular, impondo amplitudes positivas como magnitudes, a maneira habitual de enunciar é: as ondas devem ter a mesma frequência e propagar-se no mesmo sentido ( a=-1 faz com que ambas tenham o termo temporal -\omega t), e sua diferença de fase deve ser um múltiplo de \pi com amplitudes ajustadas de modo a que as contribuições se cancelem (na prática isso reduz à condição de mesmas magnitudes e diferença de fase \pi, ou à escolha equivalente de sinais).]

Passo 6

Resumo didático da parte (a) (breve intuição física):
  • Para cancelar em todo lugar e todo instante precisamos que as duas ondas tenham exatamente a mesma dependência temporal e espacial (mesmo kx-\omega t até uma constante), caso contrário, em diferentes tempos não se pode anular sempre. Isso levou a a=-1.
  • Depois, a diferença de fase deve ser \varphi=n\pi e as amplitudes devem satisfazer o sistema acima, que implica (não-trivialmente) amplitudes com mesma magnitude e fase relativa de \pi (ou o ajuste equivalente A_{1}=-A_{2} quando \varphi é múltiplo par de 2\pi).

Passo 7

Agora resolvo a parte (b). Estamos no caso A_{1}=A_{2}=A. Primeiro: o que é uma onda estacionária? É a superposição de duas ondas de mesma frequência e mesma amplitude que se propagam em sentidos opostos. Então as condições necessárias são:
  • mesma frequência (já temos \omega em y_{1} e a\omega em y_{2}); portanto devemos ter a=1 para garantir que y_{2} tenha frequência \omega e sentido oposto temporalmente (note que y_{1} tem termo -\omega t, para onda oposta queremos +\omega t em y_{2}). Assim a=1.
  • amplitudes iguais (dado: A_{1}=A_{2}).
  • fase relativa \varphi pode deslocar a posição dos nós; para obter nó em x=0 impomos a condição adequada sobre \varphi.

Passo 8

Com A_{1}=A_{2}=A e a=1 escrevemos a soma:
y(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi)+A\cos(kx+\omega t).
Usamos a identidade de soma de cossenos:
\cos p+\cos q = 2\cos\!\bigg(\frac{p+q}{2}\bigg)\cos\!\bigg(\frac{p-q}{2}\bigg).
Tomando p=kx-\omega t+\varphi e q=kx+\omega t obtemos
\frac{p+q}{2}=kx+\frac{\varphi}{2},\qquad \frac{p-q}{2}=-\omega t + \frac{\varphi}{2}.
Portanto
y(x,t)=2A\cos\!\bigg(kx+\frac{\varphi}{2}\bigg)\cos\!\bigg(-\omega t+\frac{\varphi}{2}\bigg).
Como \cos é par, podemos escrever a dependência temporal como \cos(\omega t-\varphi/2). Assim a forma padrão da onda estacionária é
y(x,t)=\bigg[2A\cos\!\bigg(kx+\frac{\varphi}{2}\bigg)\bigg]\cdot\cos\!\bigg(\omega t-\frac{\varphi}{2}\bigg).

Passo 9

Identificar nós e condição para nó em x=0. Nodos espaciais ocorrem quando a amplitude espacial (o fator multiplicando \cos(\omega t-\varphi/2)) se anula:
2A\cos\!\bigg(kx+\frac{\varphi}{2}\bigg)=0 \quad\Rightarrow\quad \cos\!\bigg(kx+\frac{\varphi}{2}\bigg)=0.
Para x=0 ser nó, basta que
\cos\!\bigg(\frac{\varphi}{2}\bigg)=0\quad\Rightarrow\quad \frac{\varphi}{2}=\frac{(2n+1)\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \varphi=(2n+1)\pi,\; n\in\mathbb{Z}.
Portanto, com A_{1}=A_{2} e a=1, a condição para ter nó em x=0 é \varphi=(2n+1)\pi. Em particular o caso mais simples é \varphi=\pi.

Passo 10

Escrevo explicitamente a função da amplitude espacial da onda resultante (para A_{1}=A_{2}=A e a=1):
\text{amplitude espacial }(x)=2A\cos\!\bigg(kx+\frac{\varphi}{2}\bigg).
Se queremos a amplitude em valor absoluto (módulo) usamos \big|2A\cos(kx+\varphi/2)\big|, mas a função que aparece multiplicando a dependência temporal é 2A\cos(kx+\varphi/2).

Resposta

(a) a=-1,\\ \varphi=n\pi\\ (n\in\mathbb{Z}), e as amplitudes satisfazem \;A_{1}+A_{2}\cos\varphi=0 (isto é, para a solução não trivial \varphi=n\pi e A_{1}=-A_{2}(-1)^{n}). A solução trivial é A_{1}=A_{2}=0.
(b) Para A_{1}=A_{2}=A ser obtida uma onda estacionária com nó em x=0 é necessário a=1 (ondas de mesma frequência indo em sentidos opostos) e \varphi=(2n+1)\pi. A amplitude espacial resultante é \;2A\cos\!\big(kx+\dfrac{\varphi}{2}\big).

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