onde a e \varphi são constantes adimensionais.
a) Determine um conjunto de possíveis valores de a e \varphi, e a relação entre as amplitudes A_{1} e A_{2}, para que a interferência entre as ondas y_{1} e y_{2} resulte em intensidade nula em toda a corda e em todo instante.
b) Para o caso A_{1}=A_{2}, discuta as condições necessárias para se ter uma onda estacionária, com nó em x=0. Obtenha a função da amplitude da onda resultante com a posição para este caso.
Passo 1
O enunciado dá duas ondas na corda:
y_{1}(x,t)=A_{1}\cos(kx-\omega t+\varphi),
y_{2}(x,t)=A_{2}\cos(kx+a\omega t),
onde a e \varphi são constantes sem dimensão e A_{1},A_{2} são amplitudes (constantes).
O que o enunciado pede:
(a) Determinar valores possíveis de a e \varphi e a relação entre A_{1} e A_{2} tais que a interferência entre y_{1} e y_{2} resulte em intensidade nula em toda a corda e em todo instante (ou seja, y_{1}+y_{2}\equiv 0 para todo x,t).
(b) No caso A_{1}=A_{2}, discutir as condições para obter uma onda estacionária com nó em x=0 e obter a função da amplitude espacial da onda resultante.
Listei as informações relevantes: expressões de y_{1} e y_{2}, parâmetros a,\varphi, e a condição desejada y_{1}+y_{2}=0 para todo x,t. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Entender matematicamente a condição “intensidade nula em toda a corda e em todo instante”: isto significa que a soma das duas ondas é identicamente zero:
y(x,t)=y_{1}+y_{2}=A_{1}\cos(kx-\omega t+\varphi)+A_{2}\cos(kx+a\omega t)\equiv 0\quad\text{para todo }x,t.
Para que uma soma de cossenos dependente de x e t seja identicamente zero, as duas funções trigonométricas devem ter argumentos relacionados de modo que a dependência em x,t se torne a mesma (ou seja, uma diferença de fase constante), caso contrário não há como cancelar para todos t e x. Portanto, vamos analisar a diferença entre os argumentos das cossenos.
Passo 3
Calcule a diferença entre os argumentos das cossenos. Denotando
Para que v-u seja independente do tempo t (ou seja, constante) é necessário que o coeficiente de t seja zero. Assim é necessário
a+1=0\quad\Rightarrow\quad a=-1.
Portanto, se quisermos anular a soma para todo x,t de forma não-trivial, devemos ter a=-1. (Observação: existe a solução trivial A_{1}=A_{2}=0 que também dá soma zero, mas não é fisicamente interessante.)
Passo 4
Com a=-1 os argumentos ficam relacionados por uma diferença constante:
y=(A_{1}+A_{2}\cos\varphi)\cos u + A_{2}\sin\varphi\;\sin u.
Passo 5
Para que y\equiv 0\) para todo \(u\) (e portanto para todo \(x,t\)), os coeficientes de \(\cos u\) e de \(\sin u\) devem ser zero simultaneamente. Obtemos o sistema
\[\begin{cases} A_{1}+A_{2}\cos\varphi=0,\\[4pt] A_{2}\sin\varphi=0. \end{cases}
Analise das possibilidades:
Se A_{2}=0\], então da primeira equação vem \(A_{1}=0. Isso é a solução trivial A_{1}=A_{2}=0.
Se A_{2}\neq 0, então da segunda equação segue \sin\varphi=0, isto é
\varphi=n\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Com \varphi=n\pi temos \cos\varphi=\cos(n\pi)=(-1)^{n}. A primeira equação fica
Isto pode ser escrito de forma equivalente dependendo de n:
para n par (\varphi=2m\pi) temos \cos\varphi=1 e A_{1}=-A_{2};
para n ímpar (\varphi=(2m+1)\pi) temos \cos\varphi=-1 e A_{1}=A_{2}.
Em termos físicos: a condição não-trivial (não nula) é a=-1, \varphi=n\pi e A_{1}=-A_{2}(-1)^{n}. Em particular, impondo amplitudes positivas como magnitudes, a maneira habitual de enunciar é: as ondas devem ter a mesma frequência e propagar-se no mesmo sentido (a=-1 faz com que ambas tenham o termo temporal -\omega t), e sua diferença de fase deve ser um múltiplo de \pi com amplitudes ajustadas de modo a que as contribuições se cancelem (na prática isso reduz à condição de mesmas magnitudes e diferença de fase \pi, ou à escolha equivalente de sinais).]
Passo 6
Resumo didático da parte (a) (breve intuição física):
Para cancelar em todo lugar e todo instante precisamos que as duas ondas tenham exatamente a mesma dependência temporal e espacial (mesmo kx-\omega t até uma constante), caso contrário, em diferentes tempos não se pode anular sempre. Isso levou a a=-1.
Depois, a diferença de fase deve ser \varphi=n\pi e as amplitudes devem satisfazer o sistema acima, que implica (não-trivialmente) amplitudes com mesma magnitude e fase relativa de \pi (ou o ajuste equivalente A_{1}=-A_{2} quando \varphi é múltiplo par de 2\pi).
Passo 7
Agora resolvo a parte (b). Estamos no caso A_{1}=A_{2}=A. Primeiro: o que é uma onda estacionária? É a superposição de duas ondas de mesma frequência e mesma amplitude que se propagam em sentidos opostos. Então as condições necessárias são:
mesma frequência (já temos \omega em y_{1} e a\omega em y_{2}); portanto devemos ter a=1 para garantir que y_{2} tenha frequência \omega e sentido oposto temporalmente (note que y_{1} tem termo -\omega t, para onda oposta queremos +\omega t em y_{2}). Assim a=1.
amplitudes iguais (dado: A_{1}=A_{2}).
fase relativa \varphi pode deslocar a posição dos nós; para obter nó em x=0 impomos a condição adequada sobre \varphi.
Identificar nós e condição para nó em x=0. Nodos espaciais ocorrem quando a amplitude espacial (o fator multiplicando \cos(\omega t-\varphi/2)) se anula:
Se queremos a amplitude em valor absoluto (módulo) usamos \big|2A\cos(kx+\varphi/2)\big|, mas a função que aparece multiplicando a dependência temporal é 2A\cos(kx+\varphi/2).
Resposta
(a) a=-1,\\ \varphi=n\pi\\ (n\in\mathbb{Z}), e as amplitudes satisfazem \;A_{1}+A_{2}\cos\varphi=0 (isto é, para a solução não trivial \varphi=n\pi e A_{1}=-A_{2}(-1)^{n}). A solução trivial é A_{1}=A_{2}=0.
(b) Para A_{1}=A_{2}=A ser obtida uma onda estacionária com nó em x=0 é necessário a=1 (ondas de mesma frequência indo em sentidos opostos) e \varphi=(2n+1)\pi. A amplitude espacial resultante é \;2A\cos\!\big(kx+\dfrac{\varphi}{2}\big).