Considere um tanque grande e aberto, com profundidade H, preenchido por um fluido compressível em equilíbrio num campo gravitacional. A densidade deste fluido varia com a profundidade segundo a relação
sendo
uma constante positiva. Um objeto cúbico, de aresta
, é submerso neste fluido, com duas faces paralelas à interface da água. A face superior do cubo está a uma distância
da superfície livre do fluido.
a) Mostre que, para este caso, a pressão não varia linearmente com a profundidade.
b) Calcule a força resultante devido apenas à pressão da água sobre uma parede do tanque de largura
.
a) Mostre que, para este caso, a pressão não varia linearmente com a profundidade.
b) Calcule a força resultante devido apenas à pressão da água sobre uma parede do tanque de largura
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (vou listar tudo com calma para não nos perder):
- Tanque aberto, profundidade total
. - Fluido compressível em equilíbrio no campo gravitacional (gravidade
). - A densidade varia com a profundidade segundo
, com . Aqui é a profundidade medida a partir da superfície livre (ou seja, na superfície e cresce para baixo). - Um cubo de aresta
está submerso, com a face superior a uma distância da superfície (essa informação descreve a posição do cubo, pode ser útil para exemplos locais de pressão). - Temos duas perguntas:
a) Mostrar que, nesse caso, a pressão não varia linearmente com a profundidade.
b) Calcular a força resultante devida apenas à pressão da água sobre uma parede do tanque de largura.
Observação: “devido apenas à pressão da água” vou interpretar como a força causada pelo aumento de pressão com a profundidade (isto é, excluímos a pressão atmosférica uniforme de referência — usaremos a pressão “gauge” do fluido).
Passo 2
Princípio físico básico (passo-a-passo bem didático): equilíbrio hidrostático e escolha da variável.
- Definimos
positivo para baixo a partir da superfície (assim na superfície, abaixo). - Tome um elemento plano horizontal de fluido entre profundidades
e . A diferença de pressão entre essas faces deve equilibrar o peso do elemento (condição de equilíbrio estático). - A relação diferencial resultante, escrita de forma simples quando a profundidade é a variável, é
Expliquei: se usássemos coordenada para cima haveria sinal negativo, mas com
para baixo obtemos esse sinal positivo. Aqui
é a pressão absoluta no ponto a profundidade
,
é a aceleração gravitacional e
é a densidade local.
Passo 3
Use a lei da densidade dada e integre para achar
.
- Substituímos
na equação diferencial:
- Integramos a equação de
(superfície) até . Denotamos a pressão na superfície por (pressão atmosférica). A integral fica
- Calcule a integral explicitamente:
- Portanto a pressão absoluta é
Passo 4
Conclua a parte (a) com explicação e exemplo concreto.
- A expressão obtida para
contém um termo em e um termo em . Logo é uma função quadrática de , ou seja, não é linear em . - Intuição física: como a densidade aumenta com a profundidade (
), cada camada mais profunda é mais densa e pesa mais, acrescentando uma contribuição adicional que torna o aumento da pressão mais rápido que uma simples função linear. - Exemplo rápido ligado ao cubo: a pressão na face superior do cubo (profundidade
) é e na face inferior (profundidade ) é . A diferença de pressão entre as faces não é proporcional simplesmente a pois aparece o termo quadrático.
Passo 5
Preparar a integral da força sobre a parede (parte b). Modelo geométrico e escolha de sinais:
- Considere a parede vertical do tanque cuja altura vai de
até e cuja largura (em profundidade de página) é . A área total da parede é . - A força resultante horizontal sobre a parede devido à pressão do fluido é a integral da pressão (gauge) sobre essa área. Como queremos “devido apenas à pressão da água”, definimos a pressão gauge
- Corte a parede em faixas horizontais infinitesimais de altura
. Cada faixa tem área e sofre uma força diferencial
Passo 6
Calcule a integral para a força resultante e simplifique.
- A força total é
- Integramos termo a termo:
- Logo
- Podemos escrever de forma factorizada, se preferir:
- Checagem rápida de limite: se
(fluido incompressível com densidade ) obtemos , que é o resultado clássico — bom sinal.
Resposta
(a)
, portanto a pressão depende quadraticamente de
(não é linear).
(b)
(b)