Considere um tanque grande e aberto, com profundidade H, preenchido por um fluido compressível em equilíbrio num campo gravitacional. A densidade deste fluido varia com a profundidade segundo a relação
\rho(h)=\rho_{0}+c h,
sendo c uma constante positiva. Um objeto cúbico, de aresta b, é submerso neste fluido, com duas faces paralelas à interface da água. A face superior do cubo está a uma distância x da superfície livre do fluido.
a) Mostre que, para este caso, a pressão não varia linearmente com a profundidade.
b) Calcule a força resultante devido apenas à pressão da água sobre uma parede do tanque de largura L.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (vou listar tudo com calma para não nos perder):
  • Tanque aberto, profundidade total \,H.
  • Fluido compressível em equilíbrio no campo gravitacional (gravidade g).
  • A densidade varia com a profundidade segundo \displaystyle \rho(h)=\rho_{0}+c\,h, com c>0. Aqui h é a profundidade medida a partir da superfície livre (ou seja, h=0 na superfície e cresce para baixo).
  • Um cubo de aresta \,b está submerso, com a face superior a uma distância \,x da superfície (essa informação descreve a posição do cubo, pode ser útil para exemplos locais de pressão).
  • Temos duas perguntas:
    a) Mostrar que, nesse caso, a pressão não varia linearmente com a profundidade.
    b) Calcular a força resultante devida apenas à pressão da água sobre uma parede do tanque de largura \,L.
Observação: “devido apenas à pressão da água” vou interpretar como a força causada pelo aumento de pressão com a profundidade (isto é, excluímos a pressão atmosférica uniforme de referência — usaremos a pressão “gauge” do fluido).

Passo 2

Princípio físico básico (passo-a-passo bem didático): equilíbrio hidrostático e escolha da variável.
  • Definimos h positivo para baixo a partir da superfície (assim h=0 na superfície, h>0 abaixo).
  • Tome um elemento plano horizontal de fluido entre profundidades h e h+dh. A diferença de pressão entre essas faces deve equilibrar o peso do elemento (condição de equilíbrio estático).
  • A relação diferencial resultante, escrita de forma simples quando a profundidade é a variável, é
\frac{dp}{dh}=\rho(h)\,g.
Expliquei: se usássemos coordenada para cima haveria sinal negativo, mas com h para baixo obtemos esse sinal positivo. Aqui p(h) é a pressão absoluta no ponto a profundidade h, g é a aceleração gravitacional e \rho(h) é a densidade local.

Passo 3

Use a lei da densidade dada e integre para achar p(h).
  • Substituímos \rho(h)=\rho_{0}+c\,h na equação diferencial:
\frac{dp}{dh}=(\rho_{0}+c\,h)\,g.
  • Integramos a equação de h'=0 (superfície) até h'=h. Denotamos a pressão na superfície por p(0)=p_{\text{atm}} (pressão atmosférica). A integral fica
p(h)-p_{\text{atm}}=g\int_{0}^{h}(\rho_{0}+c\,h')\,dh'.
  • Calcule a integral explicitamente:
\int_{0}^{h}(\rho_{0}+c\,h')\,dh'=\rho_{0}h+\frac{c h^{2}}{2}.
  • Portanto a pressão absoluta é
p(h)=p_{\text{atm}}+g\bigg(\rho_{0}h+\frac{c\,h^{2}}{2}\bigg).

Passo 4

Conclua a parte (a) com explicação e exemplo concreto.
  • A expressão obtida para p(h) contém um termo em h e um termo em h^{2}. Logo p(h) é uma função quadrática de h, ou seja, não é linear em h.
  • Intuição física: como a densidade aumenta com a profundidade ( c>0), cada camada mais profunda é mais densa e pesa mais, acrescentando uma contribuição adicional que torna o aumento da pressão mais rápido que uma simples função linear.
  • Exemplo rápido ligado ao cubo: a pressão na face superior do cubo (profundidade h=x) é \displaystyle p(x)=p_{\text{atm}}+g\big(\rho_{0}x+\tfrac{c x^{2}}{2}\big) e na face inferior (profundidade h=x+b) é \displaystyle p(x+b)=p_{\text{atm}}+g\big(\rho_{0}(x+b)+\tfrac{c (x+b)^{2}}{2}\big). A diferença de pressão entre as faces não é proporcional simplesmente a b pois aparece o termo quadrático.

Passo 5

Preparar a integral da força sobre a parede (parte b). Modelo geométrico e escolha de sinais:
  • Considere a parede vertical do tanque cuja altura vai de h=0 até h=H e cuja largura (em profundidade de página) é L. A área total da parede é A=L\times H.
  • A força resultante horizontal sobre a parede devido à pressão do fluido é a integral da pressão (gauge) sobre essa área. Como queremos “devido apenas à pressão da água”, definimos a pressão gauge
p_{\text{g}}(h)=p(h)-p_{\text{atm}}=g\bigg(\rho_{0}h+\frac{c h^{2}}{2}\bigg).
  • Corte a parede em faixas horizontais infinitesimais de altura dh. Cada faixa tem área dA=L\,dh e sofre uma força diferencial
dF=p_{\text{g}}(h)\,dA = p_{\text{g}}(h)\,L\,dh.

Passo 6

Calcule a integral para a força resultante e simplifique.
  • A força total é
F=\int_{0}^{H} p_{\text{g}}(h)\,L\,dh = L g \int_{0}^{H}\left(\rho_{0}h+\frac{c h^{2}}{2}\right)dh.
  • Integramos termo a termo:
\int_{0}^{H}\rho_{0}h\,dh=\rho_{0}\frac{H^{2}}{2}, \qquad \int_{0}^{H}\frac{c h^{2}}{2}\,dh=\frac{c}{2}\cdot\frac{H^{3}}{3}=\frac{c H^{3}}{6}.
  • Logo
F = L g \left(\rho_{0}\frac{H^{2}}{2}+\frac{c H^{3}}{6}\right).
  • Podemos escrever de forma factorizada, se preferir:
F = L g H^{2}\left(\frac{\rho_{0}}{2}+\frac{c H}{6}\right).
  • Checagem rápida de limite: se c=0 (fluido incompressível com densidade \rho_{0}) obtemos F = L g \rho_{0} H^{2}/2, que é o resultado clássico — bom sinal.

Resposta

(a) \displaystyle p(h)=p_{\text{atm}}+g\bigg(\rho_{0}h+\frac{c\,h^{2}}{2}\bigg), portanto a pressão depende quadraticamente de h (não é linear).
(b) \displaystyle F = L g \left(\frac{\rho_{0}H^{2}}{2}+\frac{c H^{3}}{6}\right)

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