Três cubos de mesmo volume flutuam num líquido com densidade constante. O primeiro cubo tem 90 \% do seu volume submerso, o segundo tem 50 \% do seu volume submerso e o terceiro tem um percentual submerso desconhecido. Colando-se os três cubos obtemos um paralelepípedo que flutua com 70 \% do seu volume submerso. Calcule o percentual submerso do terceiro cubo. Qual seria o volume submerso do paralelepípedo se a densidade média do terceiro cubo fosse igual à do líquido?

Passo 1

O enunciado dá três cubos de mesmo volume V flutuando num líquido de densidade \rho_L. Sabemos que, para cada cubo, o volume submerso é tal que o peso do líquido deslocado (arquimedes) iguala o peso do cubo. Isso implica que, para o i-ésimo cubo,
\alpha_i = \frac{V_{\text{sub},i}}{V} = \frac{\rho_i}{\rho_L},
onde \alpha_i é a fração submersa e \rho_i a densidade do cubo.

Passo 2

Para os dois primeiros cubos temos
\alpha_1 = 0{,}90,\qquad \alpha_2 = 0{,}50,
logo
\rho_1 = 0{,}90\,\rho_L,\qquad \rho_2 = 0{,}50\,\rho_L.
Chamemos \alpha_3 a fração submersa do terceiro cubo, então \rho_3 = \alpha_3\,\rho_L.

Passo 3

Ao colar os três cubos formamos um paralelepípedo de volume total
V_{\text{tot}} = 3V
e massa total
m_{\text{tot}} = \rho_1 V + \rho_2 V + \rho_3 V = \rho_L\,V\,(0{,}90 + 0{,}50 + \alpha_3).
Esse conjunto flutua com 70\% de V_{\text{tot}} submerso, ou seja, volume submerso
V_{\text{sub,tot}} = 0{,}70\cdot3V = 2{,}1V.
Pelo princípio de Arquimedes, o peso do líquido deslocado é
\rho_L\,g\,V_{\text{sub,tot}} = m_{\text{tot}}\,g \quad\Longrightarrow\quad \rho_L\,(2{,}1V) = \rho_L\,V\,(1{,}40 + \alpha_3).
Cancelando \rho_L V segue
2{,}1 = 1{,}40 + \alpha_3 \quad\Longrightarrow\quad \alpha_3 = 0{,}70.

Passo 4

Se agora a densidade média do terceiro cubo fosse igual à do líquido, teríamos \rho_3=\rho_L e, portanto, \alpha_3=1. A fração submersa do conjunto seria
\alpha_{\text{tot}} = \frac{\rho_1+\rho_2+\rho_3}{3\,\rho_L} = \frac{0{,}90+0{,}50+1}{3} = 0{,}80.
Logo o volume submerso seria
V_{\text{sub,tot}} = 0{,}80\cdot3V = 2{,}4V.

Resposta

O terceiro cubo fica com 70\% de seu volume submerso.
Se sua densidade fosse igual à do líquido, o paralelepípedo teria 2{,}4V submersos (isto é, 80\% do volume total).

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