Trés esferas condutoras A, B e C sâo idênticas e estâo eletrizadas, respectivamente, com cargas 12 \mathrm{q}, 2 \mathrm{q} \mathrm{e}-8 \mathrm{q}. Uma quarta esfera condutora, D , idéntica às demais, está inicialmente descarregada. Determine a carga elétrica final de D , após contatos sucessivos com \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, novamente A e B , nesta ordem. (1,5 pontos)
F=E . q F=\left(k q 1 q_{2}\right) / r^{2} E=(k q) / r^{2}
K=9 \times 10^{8} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2} \varepsilon=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{N} . \mathrm{m}^{2} V=k q / r

Passo 1

O enunciado dá quatro esferas condutoras idênticas: A, B, C e D. As cargas iniciais são:
A: 12q,\qquad B: 2q,\qquad C: -8q,\qquad D: 0.
A sequência de contatos é: D toca A, depois D toca B, depois D toca C, depois D toca A novamente e, por fim, D toca B.
A pergunta é: qual será a carga elétrica final de D após esses contatos sucessivos?
Anotei todas as informações relevantes e a ordem dos contatos; a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática): quando duas esferas condutoras idênticas entram em contato, as cargas se redistribuem até que as duas fiquem com o mesmo potencial. Para esferas idênticas isso significa que elas ficam com a mesma carga final cada uma. Como a carga total se conserva, se as cargas iniciais são q_1 e q_2, a carga final de cada esfera será a média aritmética:
q_{\text{final}}=\frac{q_1+q_2}{2}.
Explicando passo a passo: a conservação da carga diz que a soma das cargas antes e depois do contato é a mesma; a simetria (esferas idênticas) garante que as cargas finais são iguais, então cada uma fica com metade da soma. Esse é o procedimento que usaremos em cada contato. Vou aplicar essa fórmula em cada etapa, mostrando as contas.

Passo 3

Primeiro contato: D (inicialmente 0) toca A (inicialmente 12q). Use a fórmula da média:
q_{\text{cada}}=\frac{12q+0}{2}=\frac{12q}{2}=6q.
Após o contato:
A=6q,\qquad D=6q.
Anotei os novos valores para usar nos contatos seguintes.

Passo 4

Segundo contato: agora D=6q toca B=2q. A soma é 6q+2q=8q. A carga de cada uma após o contato será
q_{\text{cada}}=\frac{6q+2q}{2}=\frac{8q}{2}=4q.
Após o contato:
B=4q,\qquad D=4q.

Passo 5

Terceiro contato: D=4q toca C=-8q. A soma é 4q+(-8q)=-4q. A carga de cada uma após o contato será
q_{\text{cada}}=\frac{4q+(-8q)}{2}=\frac{-4q}{2}=-2q.
Após o contato:
C=-2q,\qquad D=-2q.

Passo 6

Quarto contato: D=-2q toca A. Lembre-se que A ficou com 6q no primeiro contato e não foi mais alterada até agora, então A=6q. A soma é -2q+6q=4q. A carga de cada uma após o contato será
q_{\text{cada}}=\frac{-2q+6q}{2}=\frac{4q}{2}=2q.
Após o contato:
A=2q,\qquad D=2q.

Passo 7

Quinto (último) contato: D=2q toca B. Lembre que B ficou com 4q após o segundo contato e não foi mais alterada, então B=4q. A soma é 2q+4q=6q. A carga de cada uma após o contato será
q_{\text{cada}}=\frac{2q+4q}{2}=\frac{6q}{2}=3q.
Após este contato final:
B=3q,\qquad D=3q.
Portanto, a carga final de D é 3q.

Resposta

3q

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