Uma carga puntiforme de 5 \mu C está no eixo y em y=3 \mathrm{~cm}, e uma segunda carga puntifor eixo de -2 \mu C está no eixo y em y=-3 \mathrm{~cm}. Determine o campo elétrico no ponto P, que está no elx x em \mathrm{x}=8 \mathrm{~cm}. ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá duas cargas puntiformes e um ponto onde devemos encontrar o campo elétrico. Vou listar claramente o que foi informado e o que se pede, sem resolver nada ainda.
  • Carga 1: \,q_1 = +5\\ \mu\mathrm{C} localizada no eixo y em y=3\\ \mathrm{cm}.
  • Carga 2: \,q_2 = -2\\ \mu\mathrm{C} localizada no eixo y em y=-3\\ \mathrm{cm}.
  • Ponto P: está no eixo x em x=8\\ \mathrm{cm}. Logo as coordenadas de P são (x_P,y_P)=(8\\ \mathrm{cm},0).
  • O que se pede: o campo elétrico \mathbf{E} no ponto P. Esperamos dar \mathbf{E} em componentes (Ex, Ey) e, se for útil, módulo e direção.
Dados a converter para unidades do SI (pois as fórmulas usam metros e coulombs): \,1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m} e \,1\\ \mu\mathrm{C}=10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula curtinha e direta): o campo elétrico gerado por uma carga pontual q no ponto P está dado por Coulomb:
\mathbf{E} = k\,\dfrac{q}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},
onde:
  • k é a constante eletrostática, k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}},
  • r é a distância entre a carga q e o ponto P,
  • \hat{\mathbf{r}} é o versor (vetor unitário) que aponta de onde está a carga até P, isto é \hat{\mathbf{r}}=(\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_q)/r.
Explicando em miúdos: para cada carga a gente calcula o vetor que vai da carga até P, encontra seu comprimento r, normaliza esse vetor para obter a direção (o versor) e multiplica por kq/r^2. Se q for positivo o campo sai da carga; se q for negativo o campo aponta para a carga — tudo isso já está encapsulado no sinal de q na fórmula.

Passo 3

Converter unidades e escrever posições em coordenadas (em metros):
  • q_1 = +5\\ \mu\mathrm{C} = +5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • q_2 = -2\\ \mu\mathrm{C} = -2\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Posição da carga 1: (0,\,3\\ \mathrm{cm})=(0,\,0{,}03\\ \mathrm{m}).
  • Posição da carga 2: (0,\,-3\\ \mathrm{cm})=(0,\,-0{,}03\\ \mathrm{m}).
  • Posição de P: (8\\ \mathrm{cm},\,0)=(0{,}08\\ \mathrm{m},\,0).

Passo 4

Calcular os vetores que vão de cada carga até P e suas distâncias.
  • Vetor de q_1 para P:
\mathbf{r}_1 = \mathbf{r}_P-\mathbf{r}_{q_1} = (0{,}08-0,\;0-0{,}03) = (0{,}08,\;-0{,}03)\\ \mathrm{m}.
  • Vetor de q_2 para P:
\mathbf{r}_2 = \mathbf{r}_P-\mathbf{r}_{q_2} = (0{,}08-0,\;0-(-0{,}03)) = (0{,}08,\;0{,}03)\\ \mathrm{m}.
As distâncias (comprimentos desses vetores) são iguais por simetria:
r = \sqrt{0{,}08^{2}+0{,}03^{2}}=\sqrt{0{,}0064+0{,}0009}=\sqrt{0{,}0073}=0{,}085440\ldots\\ \mathrm{m}.
Vou manter algumas casas significativas e arredondar os intermediários quando fizer multiplicações, mas guardo precisão suficiente para a resposta final.

Passo 5

Calcular os versores (unidades de direção) \hat{\mathbf{r}}_1 e \hat{\mathbf{r}}_2.
  • Para \mathbf{r}_1=(0{,}08,\,-0{,}03):
\hat{\mathbf{r}}_1 = \dfrac{\mathbf{r}_1}{r} = \left(\dfrac{0{,}08}{r},\;\dfrac{-0{,}03}{r}\right).
Numericamente:
\dfrac{0{,}08}{r} \approx \dfrac{0{,}08}{0{,}085440}=0{,}93633,\qquad \dfrac{-0{,}03}{r} \approx -0{,}35112.
Então
\hat{\mathbf{r}}_1 \approx (0{,}93633,\,-0{,}35112).
  • Para \mathbf{r}_2=(0{,}08,\,0{,}03):
\hat{\mathbf{r}}_2 = \dfrac{\mathbf{r}_2}{r} \approx (0{,}93633,\;0{,}35112).

Passo 6

Calcular o módulo do campo gerado por cada carga usando \,E_i = k\,\dfrac{|q_i|}{r^{2}} e em seguida obter os vetores através do sinal de q_i.
Primeiro calcule r^{2}:
r^{2}=0{,}0073\\ \mathrm{m^{2}}.
Constante:
k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Módulo do campo de q_1:
E_1 = k\,\dfrac{|q_1|}{r^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\cdot\dfrac{5\times10^{-6}}{0{,}0073}\\ \mathrm{N/C}.
Calculemos numericamente:
8{,}99\times10^{9}\cdot5\times10^{-6}=4{,}495\times10^{4},
E_1 \approx \dfrac{4{,}495\times10^{4}}{0{,}0073}\approx 6{,}159\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
Como q_1>0, o vetor campo é
\mathbf{E}_1 = E_1\,\hat{\mathbf{r}}_1 \approx 6{,}159\times10^{6}\,(0{,}93633,\,-0{,}35112).
Componentes:
E_{1x}\approx 6{,}159\times10^{6}\times0{,}93633 \approx 5{,}767\times10^{6}\\ \mathrm{N/C},
E_{1y}\approx 6{,}159\times10^{6}\times(-0{,}35112) \approx -2{,}162\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
  • Módulo do campo de q_2:
E_2 = k\,\dfrac{|q_2|}{r^{2}} = 8{,}99\times10^{9}\cdot\dfrac{2\times10^{-6}}{0{,}0073}.
Numéricamente:
8{,}99\times10^{9}\cdot2\times10^{-6}=1{,}798\times10^{4},
E_2 \approx \dfrac{1{,}798\times10^{4}}{0{,}0073}\approx 2{,}4636\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
Como q_2<0, o sinal entra no produto e o vetor campo é
\mathbf{E}_2 = k\,\dfrac{q_2}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}_2 = (-2{,}4636\times10^{6})\,(0{,}93633,\;0{,}35112).
Componentes:
E_{2x}\approx -2{,}4636\times10^{6}\times0{,}93633 \approx -2{,}306\times10^{6}\\ \mathrm{N/C},
E_{2y}\approx -2{,}4636\times10^{6}\times0{,}35112 \approx -0{,}865\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
Observação didática: repare que, por causa do sinal negativo de q_2, tanto a componente x quanto a y de \mathbf{E}_2 ficaram negativas — intuitivamente, o campo gerado por uma carga negativa aponta em direção à carga, que está abaixo do eixo x; portanto em P ele tem componente x para a esquerda ou direita? A componente x ficou negativa porque o versor tinha x positivo, mas o fator q_2 é negativo — isso é só consequência da fórmula vetorial; o importante é que fizemos tudo de forma consistente com \mathbf{E}=kq(\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_q)/r^3.

Passo 7

Somar vetorialmente as contribuições para obter o campo total em P:
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}.
Somando componentes:
E_x = E_{1x}+E_{2x} \approx 5{,}767\times10^{6} + (-2{,}306\times10^{6}) = 3{,}461\times10^{6}\\ \mathrm{N/C},
E_y = E_{1y}+E_{2y} \approx -2{,}162\times10^{6} + (-0{,}865\times10^{6}) = -3{,}027\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
(Arredondei o E_y final para três algarismos significativos; se mantivermos as aproximações intermediárias, obtemos E_y\approx -3{,}026\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.)
Logo, em forma vetorial:
\mathbf{E}(P) \approx (3{,}46\times10^{6}\,\hat{\mathbf{i}} \;-\;3{,}03\times10^{6}\,\hat{\mathbf{j}})\\ \mathrm{N/C}.

Passo 8

Calcular módulo e direção (ângulo medido a partir do eixo positivo x, sentido anti-horário; aqui o y deu negativo, então o ângulo será abaixo do eixo x).
  • Módulo:
|\mathbf{E}|=\sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}} \approx \sqrt{(3{,}461\times10^{6})^{2}+( -3{,}027\times10^{6})^{2}}.
Numérico:
|\mathbf{E}|\approx \sqrt{11{,}981\times10^{12}+9{,}163\times10^{12}}=\sqrt{21{,}144\times10^{12}}\approx 4{,}598\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
  • Ângulo \theta em relação ao eixo x (sinal negativo indica abaixo do eixo):
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{E_y}{E_x}\right)\approx\arctan\!\left(\dfrac{-3{,}027}{3{,}461}\right)\approx -42{,}0^\circ.
Interpretação: o campo tem módulo aproximadamente \,4{,}60\times10^{6}\\ \mathrm{N/C} e aponta para baixo e para a direita, formando cerca de 42{,}0^\circ abaixo do eixo x.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(P)\approx (3{,}46\times10^{6}\,\hat{\mathbf{i}}-3{,}03\times10^{6}\,\hat{\mathbf{j}})\\ \mathrm{N/C}
\displaystyle |\mathbf{E}|\approx 4{,}60\times10^{6}\\ \mathrm{N/C},\quad \theta\approx -42{,}0^\circ

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