Para verificar experimentalmente a conservação de energia foi utilizado um trilho inclinado, um flutuador e um cronômetro. Foram medidas a altura inicial do centro de massas do flutuador no inicio do percurso ( h_{1} ) e a altura no fim do percurso ( h_{2} ). Com um cronometro foi medido o tempo médio de passagem do flutuador em \mathrm{h}_{2}, \mathrm{t}_{\mathrm{m}}, como mostrado na Tabela 1. Considere a largura da haste do flutuador como 1 cm . Com esses dados, verifique se há conservação da energia nesse experimento.
Notem que diferente do experimento que foi mandado em vídeo, aqui o flutuador é solto sempre da mesma altura e é o cronometro que esta sendo deslocado. O cronometro mede o tempo de passagem para cada altura, e com esse valor é possível calcular a velocidade instantânea nesse ponto e assim a energia cinética. Usamos como ponto de energia potencial nula o menor valor de \mathrm{h}_{2}, então as alturas devem ser consideradas com relação a esse ponto. O que deve ser feito é:
a) Uma tabela com o valores das alturas e as respectivas energias potencial e cinética
b) Um gráfico com os resultados para a energia cinética, potencial e mecânica total, todos na mesma folha.
A escala e nome dos eixos deverão ser colocados claramente, caso contrario o gráfico não será considerado.
\mathrm{h}_{1}(\mathrm{~cm}) \mathrm{h}_{2}(\mathrm{~cm}) \mathrm{t}_{\mathrm{m}}(\mathrm{cm})
18,6 11,9 0,0090
18,6 12,8 0,0098
18,6 14 0,0120
18,6 14,9 0,0131
18,6 15,8 0,0141
18,6 16,7 0,0174

\captionsetup{labelformat=empty}
Table 1: Tabela 1- \mathrm{h}_{1,2} alturas no inicio e fim do percurso, \mathrm{t}_{\mathrm{m}}= tempo médio de passagem da haste do flutuador pelo cronômetro em \mathrm{h}_{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos\n
  • Pedido: (a) montar uma tabela com as alturas e as respectivas energias potencial e cinética (pode ser conveniente calcular as energias por unidade de massa, assim não precisamos conhecer a massa do flutuador); (b) produzir um gráfico com Energia Potencial, Energia Cinética e Energia Mecânica total (todas na mesma folha), com eixos e escala claramente indicados. Também verificar se a energia mecânica se conserva.\n
  • Dados fornecidos (peguei-os da Tabela 1 do enunciado):\n
    \;h_1 = 18{,}6\\ \text{cm} (altura inicial do centro de massa)\n
    Linhas de medidas para \;h_2 e \;t_m:\n
    \;h_2 = 11{,}9\\ \text{cm},\; t_m = 0{,}0090\\ \text{s}\n
    \;h_2 = 12{,}8\\ \text{cm},\; t_m = 0{,}0098\\ \text{s}\n
    \;h_2 = 14{,}0\\ \text{cm},\; t_m = 0{,}0120\\ \text{s}\n
    \;h_2 = 14{,}9\\ \text{cm},\; t_m = 0{,}0131\\ \text{s}\n
    \;h_2 = 15{,}8\\ \text{cm},\; t_m = 0{,}0141\\ \text{s}\n
    \;h_2 = 16{,}7\\ \text{cm},\; t_m = 0{,}0174\\ \text{s}\n
  • Informação adicional dada no enunciado: largura da haste do flutuador (distância que o cronômetro mede ao passar) = 1\\ \text{cm}.\n
  • Observação importante retirada do enunciado: usamos como referência de energia potencial zero o menor valor de \;h_2 (isto é, \;h_{2,\min}=11{,}9\\ \text{cm}).\n

Passo 2

Converter unidades e definir fórmulas (aulas rápidas para cada conceito)\n
  1. Conversões e constantes que vou usar:\n
    • Largura da haste (distância percorrida que o cronômetro “vê”): \;w = 1\\ \text{cm} = 0{,}01\\ \text{m}.\n
    • Converter alturas de cm para m quando necessário: \;1\\ \text{cm}=0{,}01\\ \text{m}.\n
    • Aceleração da gravidade: \;g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n
  2. Como vamos calcular velocidade instantânea a partir do tempo médio de passagem:\n
    • Ideia: o cronômetro mede o tempo \;t_m que a haste (largura w) leva para passar por um ponto; aproximamos a velocidade instantânea lá por\n v \approx \frac{w}{t_m}.\n
    Explicação didática: se um objeto leva t segundos para percorrer uma distância muito pequena \Delta x, então sua velocidade instantânea ali é aproximadamente \Delta x/\Delta t. Aqui \Delta x=w é pequeno (1 cm), então essa aproximação é razoável.\n
  3. Fórmulas de energia (vou calcular por unidade de massa m, ou seja, energias específicas, para não precisar da massa do flutuador):\n
    • Energia potencial gravitacional por unidade de massa (energia específica potencial): \;u = \dfrac{U}{m} = g\,h_{\text{rel}}, onde \;h_{\text{rel}} é a altura relativa em metros tomando a referência zero em \;h_{2,\min}.\n
    • Energia cinética por unidade de massa (energia específica cinética): \;k = \dfrac{K}{m} = \dfrac{1}{2}\,v^{2}.\n
    • Energia mecânica por unidade de massa: \;e = u + k.\n
      Explicação das variáveis: \;v é a velocidade em m/s, \;h_{\text{rel}} é a altura em m relativa ao nível zero escolhido, \;g é 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Essas energias têm unidades de \mathrm{J/kg} (joule por quilograma).\n

Passo 3

Calcular a energia inicial (por unidade de massa) no ponto de soltura — referência para comparar\n
  • A referência zero é \;h_{2,\min}=11{,}9\\ \text{cm}. Portanto a altura relativa inicial é\n h_{1,\text{rel}} = h_1 - h_{2,\min} = 18{,}6\\ \text{cm} - 11{,}9\\ \text{cm} = 6{,}7\\ \text{cm} = 0{,}067\\ \text{m}.\n
  • Energia potencial inicial por unidade de massa (tudo em \mathrm{J/kg}):\n \frac{E_{0}}{m} = g\,h_{1,\text{rel}} = 9{,}81 \times 0{,}067 = 0{,}65727\\ \mathrm{J/kg}.\n
Vou arredondar para três casas decimais quando apresentar resultados finais: \;E_0/m \approx 0{,}657\\ \mathrm{J/kg}.\n

Passo 4

Calcular velocidades a partir de cada \;t_m (mostro o cálculo detalhado do primeiro e depois resumo os demais)\n
Fórmula: \;v = w/t_m.\n
  • Para o primeiro ponto ( h_2=11{,}9\\ \text{cm}, t_m=0{,}0090\\ \text{s}):\n v = \frac{0{,}01}{0{,}0090} = 1{,}111\ldots\\ \mathrm{m/s} \approx 1{,}111\\ \mathrm{m/s}.\n
Agora calculo os outros da mesma forma (apresento resultado com 3 casas digítas significativas):\n
  • t_m=0{,}0098\\ \text{s} \Rightarrow v=\dfrac{0{,}01}{0{,}0098}=1{,}0204\\ \mathrm{m/s}.\n
  • t_m=0{,}0120\\ \text{s} \Rightarrow v=\dfrac{0{,}01}{0{,}0120}=0{,}8333\\ \mathrm{m/s}.\n
  • t_m=0{,}0131\\ \text{s} \Rightarrow v=\dfrac{0{,}01}{0{,}0131}=0{,}7634\\ \mathrm{m/s}.\n
  • t_m=0{,}0141\\ \text{s} \Rightarrow v=\dfrac{0{,}01}{0{,}0141}=0{,}7092\\ \mathrm{m/s}.\n
  • t_m=0{,}0174\\ \text{s} \Rightarrow v=\dfrac{0{,}01}{0{,}0174}=0{,}5747\\ \mathrm{m/s}.\n

Passo 5

Calcular energias (por unidade de massa) para cada linha e montar a tabela pedida\n
Procedimento: para cada linha calculei\n h_{\text{rel}} = h_2 - h_{2,\min}\quad(\text{em m}),\qquad u=g\,h_{\text{rel}},\qquad k=\tfrac{1}{2}v^{2},\qquad e=u+k.\n
Tabela com os resultados (apresentei alturas em cm como no enunciado; energias em \mathrm{J/kg}, arredondadas a três casas decimais):\n
\begin{array}{l l l l l l} \hline h_2\\ (\text{cm}) & h_{\text{rel}}\\ (\text{m}) & v\\ (\mathrm{m/s}) & u=g\,h_{\text{rel}}\\ (\mathrm{J/kg}) & k=\tfrac{1}{2}v^{2}\\ (\mathrm{J/kg}) & e=u+k\\ (\mathrm{J/kg})\\\ \hline 11{,}9 & 0{,}000 & 1{,}111 & 0{,}000 & 0{,}617 & 0{,}617\\\\ 12{,}8 & 0{,}009 & 1{,}020 & 0{,}088 & 0{,}521 & 0{,}609\\\\ 14{,}0 & 0{,}021 & 0{,}833 & 0{,}206 & 0{,}347 & 0{,}553\\\\ 14{,}9 & 0{,}030 & 0{,}763 & 0{,}294 & 0{,}291 & 0{,}586\\\\ 15{,}8 & 0{,}039 & 0{,}709 & 0{,}383 & 0{,}251 & 0{,}634\\\\ 16{,}7 & 0{,}048 & 0{,}575 & 0{,}471 & 0{,}165 & 0{,}636\\\ \hline \end{array}\n
Observações numéricas que coletei a partir da tabela:\n
  • Energia potencial inicial por unidade de massa (referência): \;E_0/m \approx 0{,}657\\ \mathrm{J/kg} (ver Passo 3).\n
  • Energia mecânica por unidade de massa medida nos pontos: \;e varia entre \;0{,}553 e \;0{,}636\\ \mathrm{J/kg} nos pontos medidos.\n
  • Média das energias medidas: \;\bar{e}\approx 0{,}606\\ \mathrm{J/kg}.\n
  • Discrepância máxima relativa em relação à energia inicial: \dfrac{0{,}657 - 0{,}553}{0{,}657}\approx 0{,}158 (ou seja, cerca de 15{,}8\% de diferença no pior ponto). A discrepância média é menor (da ordem de 8\%).\n

Passo 6

Como construir o gráfico (instruções claras de escala e eixos) — todos na mesma folha\n
Recomendo usar como eixo horizontal a altura \;h_2 em \text{cm} (mantém consistência com a tabela) e como eixo vertical a energia específica em \mathrm{J/kg}.\n
Sugestão de rótulos e escala (para que fique claro e válido para avaliação):\n
  • Eixo x: “Altura \;h_2 (cm)”; escala de 11{,}5 a 17{,}0\\ \text{cm}, marcações a cada 0{,}5\\ \text{cm} ou 1\\ \text{cm}.\n
  • Eixo y: “Energia por unidade de massa ( \mathrm{J/kg})”; escala de 0{,}0 a 0{,}7\\ \mathrm{J/kg}, marcações a cada 0{,}05 ou 0{,}1\\ \mathrm{J/kg}.\n
    Pontos a plotar (x = h_2 em cm; y = valores numéricos da tabela):\n
  • Energia Potencial u:\n (11{,}9,\;0{,}000),\\ (12{,}8,\;0{,}088),\\ (14{,}0,\;0{,}206),\\ (14{,}9,\;0{,}294),\\ (15{,}8,\;0{,}383),\\ (16{,}7,\;0{,}471).\n
  • Energia Cinética k:\n (11{,}9,\;0{,}617),\\ (12{,}8,\;0{,}521),\\ (14{,}0,\;0{,}347),\\ (14{,}9,\;0{,}291),\\ (15{,}8,\;0{,}251),\\ (16{,}7,\;0{,}165).\n
  • Energia Mecânica e=u+k:\n (11{,}9,\;0{,}617),\\ (12{,}8,\;0{,}609),\\ (14{,}0,\;0{,}553),\\ (14{,}9,\;0{,}586),\\ (15{,}8,\;0{,}634),\\ (16{,}7,\;0{,}636).\n
    Dicas de plotagem: use cores diferentes e legenda clara (por ex.: azul para u, vermelho para k, verde para e). Trace linhas ligando os pontos para cada curva para visualizar as tendências. Coloque uma linha horizontal pontilhada em y=0{,}657\\ \mathrm{J/kg} (a energia potencial inicial por unidade de massa) para comparar visualmente o valor teórico/esperado da energia mecânica total se não houvesse perdas.\n

Passo 7

Interpretação física e conclusão detalhada (o que esses números significam, aula curta sobre possíveis causas das diferenças)\n
  • Se a energia mecânica total fosse perfeitamente conservada (sem atrito, sem arrasto do ar, sem efeitos de rotação interna, sem erro experimental), os valores medidos de e em cada h_2 deveriam ser iguais ao valor inicial E_0/m \approx 0{,}657\\ \mathrm{J/kg}.\n
  • Observação dos números: os valores experimentais de e estão entre 0{,}553 e 0{,}636\\ \mathrm{J/kg}, com média \approx 0{,}606\\ \mathrm{J/kg}. Isso significa que há uma perda de energia (diferença entre E_0/m e os e medidos) da ordem média de \sim 8\% e máxima de \sim 15{,}8\% no pior ponto.\n
  • Causas prováveis dessas diferenças (explicação didática):\n - Atrito entre o flutuador e o trilho (força não conservativa que dissipa energia em calor).\n - Resistência do ar (arrasto) que retira energia cinética.\n - Erro de medição do tempo t_m (cronômetro humano tem limite de resolução e reação; o método de medir velocidade por passagem de 1 cm é sensível a pequenos erros no tempo).\n - O flutuador pode oscilar, girar levemente ou ter parte da energia transformada em energia de rotação/fortes vibrações internas.\n - A aproximação v \approx w/t_m supõe movimento uniformemente rápido durante a passagem de 1 cm; se houver aceleração local durante esses 1 cm, a aproximação introduz erro.\n- Conclusão prática: os resultados mostram que a energia mecânica é aproximadamente conservada, mas há perdas experimentais importantes (até ~16% no pior ponto). Para uma experiência de bancada com cronômetro manual e flutuador/trilho, esse nível de discrepância é comum. Portanto afirmamos: há conservação aproximada da energia mecânica, com perda observada devido a efeitos dissipativos e erros experimentais.\n

Passo 8

Sugestões para reduzir erro (pequena lista prática, estilo colega amigo)\n
  • Medir o tempo com um sensor fotoelétrico ligado a um contador (reduz erro humano); usar uma distância de passagem maior para reduzir a sensibilidade do tempo.\n- Repetir cada medida várias vezes e tomar média (diminui erro aleatório).\n- Lubrificar ou alinhar melhor o trilho para reduzir atrito, ou usar um flutuador com menor contato.\n- Anotar incertezas e propagar erro para quantificar melhor a confiabilidade dos resultados.\n

Resposta

A tabela de energias por unidade de massa (ver Passo 5) foi calculada. Os valores medidos de energia mecânica por unidade de massa são, em ordem dos pontos: 0{,}617, 0{,}609, 0{,}553, 0{,}586, 0{,}634, 0{,}636\\ \mathrm{J/kg}. A energia mecânica inicial por unidade de massa é E_0/m \approx 0{,}657\\ \mathrm{J/kg}. Conclusão: a energia mecânica é aproximadamente conservada, mas há perdas experimentais (diferença média ~ 8\%, diferença máxima ~ 15{,}8\%), provavelmente devido a atrito, arrasto e erros de medição.

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