3.7.5 Três grupos de estudantes determinam a carga do elétron, com nível de confiança de 68 \%, como
\left\{\begin{array}{l} e_{1}=(1,72 \pm 0,04) \times 10^{-18} \mathrm{C} \\\ e_{2}=(1,75 \pm 0,07) \times 10^{-19} \mathrm{C} \\\ e_{3}=(1,62 \pm 0,03) \times 10^{-19} \mathrm{C} \end{array}\right.
Se o valor de referência para a carga do elétron é 1,60217733(49) \times 10^{-19} \mathrm{C}, quais das estimativas são satisfatórias?

Passo 1

O enunciado dá três estimativas experimentais da carga do elétron, com nível de confiança de 68\%, e fornece o valor de referência. As perguntas implícitas são: quais das três estimativas são compatíveis (satisfatórias) com o valor de referência ao nível de confiança dado? Dados fornecidos:
\begin{aligned} &e_1=(1{,}72\pm 0{,}04)\times10^{-18}\\ \mathrm{C},\\\ &e_2=(1{,}75\pm 0{,}07)\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\\\ &e_3=(1{,}62\pm 0{,}03)\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, \end{aligned}
e o valor de referência
e_{\mathrm{ref}}=1{,}60217733(49)\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Aqui cada intervalo \text{centro}\pm\text{incerteza} é dado para 68\% de confiança (isto é, aproximadamente \pm 1\sigma). A tarefa é verificar, para cada e_i, se e_{\mathrm{ref}} está dentro do intervalo de 68\% correspondente ou, equivalentemente, se a diferença em módulo entre o valor central e e_{\mathrm{ref}} é menor ou igual à incerteza indicada.

Passo 2

Explicação do critério que vamos usar (aula rápida): quando um resultado é dado como \text{valor}\pm\sigma com confiança de 68\%, isso significa que a incerteza indicada \sigma é aproximadamente um desvio padrão. Para checar compatibilidade com o valor de referência usamos:
\text{diferença} = \big|\text{valor central} - e_{\mathrm{ref}}\big|ç
e comparamos com \sigma. Se \text{diferença}\le\sigmaç, então o valor de referência está dentro do intervalo de 68\% e a estimativa é satisfatória. Se \text{diferença}>\sigmaç, não é satisfatória. Também podemos calcular o número de desvios padrão (o “z”):
z=\frac{\text{diferença}}{\sigma},ç
onde z\le1 indica compatibilidade ao nível de 68\%.

Passo 3

Vamos primeiro deixar tudo com a mesma potência de 10. Observação: peguei os números diretamente do enunciado. Converter e_1 para potência 10^{-19}:
e_1=(1{,}72\pm0{,}04)\times10^{-18}=(17{,}2\pm0{,}4)\times10^{-19}.
Para e_2 e e_3 não é preciso converter, já estão em 10^{-19}:
e_2=(1{,}75\pm0{,}07)\times10^{-19},\qquad e_3=(1{,}62\pm0{,}03)\times10^{-19}.

Passo 4

Avaliar a incerteza do valor de referência para ver se precisa ser considerada: a notação 1{,}60217733(49)\times10^{-19} significa que a incerteza é
\sigma_{\mathrm{ref}}=0{,}00000049\times10^{-19}=4{,}9\times10^{-26}\\ \mathrm{C},
que é muito menor que as incertezas experimentais ( \sim10^{-21} 10^{-20}\\ \mathrm{C}). Portanto \sigma_{\mathrm{ref}} é negligenciável para a comparação e podemos comparar e_{\mathrm{ref}} diretamente com os intervalos dados.

Passo 5

Verificação para e_1. Centro e incerteza em 10^{-19}:
\text{centro}_{1}=17{,}2\times10^{-19},\qquad \sigma_{1}=0{,}4\times10^{-19}.
Diferença em módulo:
\text{dif}_1=\big|17{,}2-1{,}60217733\big|\times10^{-19}=15{,}59782267\times10^{-19}.
Número de desvios:
z_1=\frac{15{,}59782267\times10^{-19}}{0{,}4\times10^{-19}}=38{,}99\approx39.
Como z_1\gg1, o valor de referência está muito fora do intervalo de 68\% de e_1. Conclusão: e_1 não é satisfatória.

Passo 6

Verificação para e_2. Centro e incerteza:
\text{centro}_{2}=1{,}75\times10^{-19},\qquad \sigma_{2}=0{,}07\times10^{-19}.
Diferença:
\text{dif}_2=\big|1{,}75-1{,}60217733\big|\times10^{-19}=0{,}14782267\times10^{-19}.
Número de desvios:
z_2=\frac{0{,}14782267\times10^{-19}}{0{,}07\times10^{-19}}=2{,}11\\ (\text{aprox.}).
Como z_2>1 (na verdade z_2\approx2{,}11), o valor de referência não está dentro do intervalo de 68\% de e_2. Conclusão: e_2 não é satisfatória ao nível de 68\%.

Passo 7

Verificação para e_3. Centro e incerteza:
\text{centro}_{3}=1{,}62\times10^{-19},\qquad \sigma_{3}=0{,}03\times10^{-19}.
Diferença:
\text{dif}_3=\big|1{,}62-1{,}60217733\big|\times10^{-19}=0{,}01782267\times10^{-19}.
Número de desvios:
z_3=\frac{0{,}01782267\times10^{-19}}{0{,}03\times10^{-19}}=0{,}594\\ (\text{aprox.}).
Como z_3<1, o valor de referência está dentro do intervalo de 68\% de e_3. Conclusão: e_3 é satisfatória.

Resposta

e_1: não satisfatória
e_2: não satisfatória
e_3: satisfatória

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