A tensão aplicada em um circuito paralelo LC é v=50 \cos \left(3000 t+45^{\circ}\right) Volts e a corrente total i_{T}=2 \cos \left(3000 t-45^{\circ}\right) A.
Sabe-se também que a corrente do ramo L é cinco vezes maior que a do ramo capacitivo. Achar L e C. \mathrm{R}: \mathrm{L}=6,67 \mathrm{mH} e \mathrm{C}=3,33 \mu F

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Tensão instantânea: v(t)=50\cos\bigl(3000t+45^\circ\bigr) Volts.
  • Corrente total: i_T(t)=2\cos\bigl(3000t-45^\circ\bigr) Ampères.
  • A corrente do ramo indutivo é cinco vezes a corrente do ramo capacitivo em módulo: |I_L|=5|I_C|.
  • Objetivo: determinar L e C.
Vamos anotar também a frequência angular:
\omega=3000\\ \text{rad/s}.

Passo 2

Converter as grandezas em fasores (usar a convenção coseno):
A fasor da tensão é
\tilde{V}=50\angle 45^\circ.
A fasor da corrente total é
\tilde{I}_T=2\angle -45^\circ.

Passo 3

Explicar comportamento das correntes nos ramos em relação à tensão:
  • Para o indutor vale \tilde{I}_L=\dfrac{\tilde{V}}{j\omega L}. Isso significa que \tilde{I}_L está defasada de -90^\circ em relação a \tilde{V} (i.e., atrasa 90°).
  • Para o capacitor vale \tilde{I}_C=j\omega C\,\tilde{V}. Isso significa que \tilde{I}_C está defasada de +90^\circ em relação a \tilde{V} (i.e., adianta 90°).
Para simplificar a soma vetorial, escolhemos a tensão como referência de fase e “rotacionamos” todos os fasores para que \tilde{V}'=50\angle 0^\circ. Subtraindo 45^\circ de cada fase temos:
\tilde{I}_T' = 2\angle -90^\circ = -j\,2.
Nessa referência:
\tilde{I}_C' = j\,|I_C|, \qquad \tilde{I}_L' = -j\,|I_L|.

Passo 4

Somando os ramos em paralelo obtemos, na referência da tensão,
\tilde{I}_T'=\tilde{I}_C'+\tilde{I}_L'=j|I_C|-j|I_L|=j\bigl(|I_C|-|I_L|\bigr).
Pelo enunciado |I_L|=5|I_C|. Substituindo:
\tilde{I}_T'=j\bigl(|I_C|-5|I_C|\bigr)=j(-4|I_C|)=-j\,4|I_C|.
Mas já encontramos \tilde{I}_T'=-j\,2. Igualando:
-j\,4|I_C|=-j\,2 \quad\Rightarrow\quad 4|I_C|=2 \quad\Rightarrow\quad |I_C|=0,5\\ \text{A}.
Logo
|I_L|=5|I_C|=5\cdot 0,5=2,5\\ \text{A}.

Passo 5

Agora relacionar as magnitudes das correntes com L e C.
  • Para o capacitor, a magnitude da corrente é |I_C|=\omega C\,|V|. Isolando C:
C=\dfrac{|I_C|}{\omega |V|}.
  • Para o indutor, a magnitude da corrente é |I_L|=\dfrac{|V|}{\omega L}. Isolando L:
L=\dfrac{|V|}{\omega |I_L|}.

Passo 6

Calcular C substituindo os valores (tudo em unidades SI):
C=\dfrac{0,5}{3000\cdot 50}=\dfrac{0,5}{150000}=3{,}333\ldots\times 10^{-6}\\ \text{F}.
Em microfarads:
C=3{,}33\\ \mu\text{F}.

Passo 7

Calcular L:
L=\dfrac{50}{3000\cdot 2{,}5}=\dfrac{50}{7500}=6{,}666\ldots\times 10^{-3}\\ \text{H}.
Em miliHenries:
L=6{,}67\\ \text{mH}.

Passo 8

Cheque rápido (opcional): na referência da tensão temos \tilde{I}_C'=j0{,}5 e \tilde{I}_L'=-j2{,}5. A soma é -j2 que, rotacionando de volta +45^\circ, corresponde a 2\angle -45^\circ, que é exatamente \tilde{I}_T. Portanto os valores são consistentes.

Resposta

L=6{,}67\\ \text{mH}
C=3{,}33\\ \mu\text{F}

Exercícios relacionados