Três máquinas A B e C apresentam, respectivamente, 10 \%, 20 \% e 30 \% de defeitos na sua produção. Se as três máquinas produzem igual quantidade de peças e retiramos duas peças ao acaso da produção global, qual é a probabilidade que as duas sejam perfeitas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Três máquinas A, B e C produzem cada uma a mesma quantidade de peças.
  • As taxas de peças com defeito são, respectivamente, 10\%, 20\% e 30\%.
  • Retiramos ao acaso duas peças da produção global.
    O que o exercício pede:
  • Calcular a probabilidade de que as duas peças retiradas sejam perfeitas (ou seja, não defeituosas).

Passo 2

Vamos definir eventos e probabilidades que usaremos:
  • Seja D_A o evento "a peça veio da máquina A"; defino D_B e D_C analogamente.
  • Como as máquinas produzem igual quantidade, temos
P(D_A)=P(D_B)=P(D_C)=\frac{1}{3}.
  • Seja P o evento “uma peça é perfeita”. As probabilidades condicionais de uma peça ser perfeita dada a máquina são:
P(P\mid D_A)=1-0,1=0,9,\qquad P(P\mid D_B)=1-0,2=0,8,\qquad P(P\mid D_C)=1-0,3=0,7.
Estas são informações extraídas diretamente do enunciado.

Passo 3

Primeiro vamos calcular a probabilidade de uma peça aleatória ser perfeita usando a fórmula da probabilidade total (particionando pelo evento "veio de A, B ou C"):
P(P)=\sum_{i\in\{A,B,C\}} P(D_i)\,P(P\mid D_i).
Explicando a fórmula: a peça obrigatoriamente veio de uma das máquinas; para cada máquina, multiplica-se a probabilidade de ter vindo dela pela probabilidade de ser perfeita dadas essa máquina, e soma-se tudo. Essa é a maneira correta de combinar informações condicionais quando as origens formam uma partição do espaço.

Passo 4

Agora substituímos os números:
P(P)=\frac{1}{3}\bigl(0,9+0,8+0,7\bigr).
Fazendo as somas passo a passo:
0,9+0,8=1,7,\qquad 1,7+0,7=2,4,
então
P(P)=\frac{1}{3}\cdot 2,4=0,8.
Portanto, a probabilidade de uma peça aleatória ser perfeita é 0,8 (ou 80\%).

Passo 5

Agora queremos a probabilidade de que as duas peças retiradas sejam perfeitas. Modelamos as duas retiradas como duas observações aleatórias independentes e identicamente distribuídas da produção global. Explico por que isso é razoável: como cada máquina produz muita peça e as produções são iguais, a escolha da primeira peça praticamente não altera as proporções da população total; assim trata-se normalmente como duas amostras independentes do mesmo mistura. Sob independência vale a regra de multiplicação:
P(\text{duas perfeitas})=P(P\\ \text{na 1ª})\cdot P(P\\ \text{na 2ª})=P(P)^2.ªª
A regra usada aqui é: se A e B são independentes, então P(A\cap B)=P(A)P(B).

Passo 6

Substituindo P(P)=0,8:
P(\text{duas perfeitas})=0,8^{2}=0,64.
Em porcentagem isto é 64\%.

Resposta

0,64
64\%

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