Três máquinas A B e C apresentam, respectivamente,
e
de defeitos na sua produção. Se as três máquinas produzem igual quantidade de peças e retiramos duas peças ao acaso da produção global, qual é a probabilidade que as duas sejam perfeitas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Três máquinas
, e produzem cada uma a mesma quantidade de peças. - As taxas de peças com defeito são, respectivamente,
, e . - Retiramos ao acaso duas peças da produção global.
O que o exercício pede: - Calcular a probabilidade de que as duas peças retiradas sejam perfeitas (ou seja, não defeituosas).
Passo 2
Vamos definir eventos e probabilidades que usaremos:
- Seja
o evento "a peça veio da máquina "; defino e analogamente. - Como as máquinas produzem igual quantidade, temos
- Seja
o evento “uma peça é perfeita”. As probabilidades condicionais de uma peça ser perfeita dada a máquina são:
Estas são informações extraídas diretamente do enunciado.
Passo 3
Primeiro vamos calcular a probabilidade de uma peça aleatória ser perfeita usando a fórmula da probabilidade total (particionando pelo evento "veio de
,
ou
"):
Explicando a fórmula: a peça obrigatoriamente veio de uma das máquinas; para cada máquina, multiplica-se a probabilidade de ter vindo dela pela probabilidade de ser perfeita dadas essa máquina, e soma-se tudo. Essa é a maneira correta de combinar informações condicionais quando as origens formam uma partição do espaço.
Passo 4
Agora substituímos os números:
Fazendo as somas passo a passo:
então
Portanto, a probabilidade de uma peça aleatória ser perfeita é
(ou
).
Passo 5
Agora queremos a probabilidade de que as duas peças retiradas sejam perfeitas. Modelamos as duas retiradas como duas observações aleatórias independentes e identicamente distribuídas da produção global. Explico por que isso é razoável: como cada máquina produz muita peça e as produções são iguais, a escolha da primeira peça praticamente não altera as proporções da população total; assim trata-se normalmente como duas amostras independentes do mesmo mistura. Sob independência vale a regra de multiplicação:
A regra usada aqui é: se
e
são independentes, então
.
Passo 6
Substituindo
:
Em porcentagem isto é
.