Pesquisadores analisam a contaminação por mercúrio em aquíferos de duas regiões distintas. A maior parte das amostras (80%) provém de áreas sem atividade de mineração, onde a presença de mercúrio é rara ( 5 \% ). O restante ( 20 \% ) vem de regiões com mineração, onde há maior probabilidade de contaminação (50%).
Se uma amostra não apresenta mercúrio, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da região sem mineração?

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede. Dados do problema:
  • A probabilidade de a amostra vir de áreas sem mineração é \,P(S)=0,8.)
  • A probabilidade de a amostra vir de áreas com mineração é \,P(M)=0,2.)
  • Em áreas sem mineração, a presença de mercúrio ocorre em 5\%, então \,P(H\mid S)=0,05.)
  • Em áreas com mineração, a presença de mercúrio ocorre em 50\%, então \,P(H\mid M)=0,5.)
O que se pede:
  • Calcular a probabilidade de que, dada uma amostra que não apresenta mercúrio, ela tenha vindo da região sem mineração, isto é, \,P(S\mid H^{c}), onde \,H^{c} é o evento “não há mercúrio na amostra”.

Passo 2

Definir os eventos e escrevê-los de forma clara:
  • S: amostra veio da região sem mineração.
  • M: amostra veio da região com mineração.
  • H: amostra contém mercúrio.
  • H^{c}: amostra não contém mercúrio (o complementar de H).
Já sabemos \,P(S)=0,8, \,P(M)=0,2, \,P(H\mid S)=0,05 e \,P(H\mid M)=0,5.

Passo 3

Calcular as probabilidades condicionais de não haver mercúrio em cada região (estas são necessárias para aplicar Bayes):
  • Em S: \,P(H^{c}\mid S)=1-P(H\mid S)=1-0,05=0,95.)
  • Em M: \,P(H^{c}\mid M)=1-P(H\mid M)=1-0,5=0,5.)
Explanação rápida: se a chance de ter mercúrio é p, a chance de não ter é 1-p. Aqui aplicamos isso para cada tipo de região.

Passo 4

Apresentar a fórmula de Bayes apropriada para o problema e explicar cada termo:
A fórmula de Bayes para obter \,P(S\mid H^{c}) é
P(S\mid H^{c})=\frac{P(H^{c}\mid S)\,P(S)}{P(H^{c})}.
Aqui:
  • \,P(H^{c}\mid S) é a probabilidade de não haver mercúrio dado que a amostra veio de S.
  • \,P(S) é a probabilidade a priori de a amostra vir de S.
  • \,P(H^{c}) é a probabilidade total de não haver mercúrio em uma amostra qualquer; ela é obtida pelo teorema da probabilidade total:
P(H^{c})=P(H^{c}\mid S)\,P(S)+P(H^{c}\mid M)\,P(M).
Raciocínio intuitivo: para saber a origem dado que não há mercúrio, pesamos quanto cada região contribui para o evento “não há mercúrio” levando em conta tanto a frequência das regiões quanto a chance de ausência de mercúrio em cada uma.

Passo 5

Calcular P(H^{c}) usando os números que já temos:
P(H^{c})=0,95\cdot 0,8 + 0,5\cdot 0,2.
Fazendo as contas:
0,95\cdot 0,8=0,76, \qquad 0,5\cdot 0,2=0,10.
Portanto
P(H^{c})=0,76+0,10=0,86.

Passo 6

Calcular P(S\mid H^{c}) aplicando Bayes:
P(S\mid H^{c})=\frac{P(H^{c}\mid S)\,P(S)}{P(H^{c})}=\frac{0,95\cdot 0,8}{0,86}=\frac{0,76}{0,86}.
Simplificando a fração:
\frac{0,76}{0,86}=\frac{76}{86}=\frac{38}{43}\approx 0,88372093\ldots

Passo 7

Interpretação final e número em porcentagem:
  • Em forma decimal arredondada: \,0,8837 (aprox.).
  • Em porcentagem: \,88,37\% (aprox.).
Isso significa que, se uma amostra não apresenta mercúrio, há uma alta probabilidade (cerca de 88{,}4\%) de ela ter vindo da região sem mineração — intuitivamente porque a maioria das amostras vem de regiões sem mineração e nelas a ausência de mercúrio é muito comum.

Resposta

\dfrac{38}{43}\approx0,8837\\ (\approx88,37\%)

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