Pesquisadores analisam a contaminação por mercúrio em aquíferos de duas regiões distintas. A maior parte das amostras (80%) provém de áreas sem atividade de mineração, onde a presença de mercúrio é rara (
). O restante (
) vem de regiões com mineração, onde há maior probabilidade de contaminação (50%).
Se uma amostra não apresenta mercúrio, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da região sem mineração?
Se uma amostra não apresenta mercúrio, qual a probabilidade de que ela tenha vindo da região sem mineração?
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede. Dados do problema:
- A probabilidade de a amostra vir de áreas sem mineração é
.) - A probabilidade de a amostra vir de áreas com mineração é
.) - Em áreas sem mineração, a presença de mercúrio ocorre em
, então .) - Em áreas com mineração, a presença de mercúrio ocorre em
, então .)
O que se pede:
- Calcular a probabilidade de que, dada uma amostra que não apresenta mercúrio, ela tenha vindo da região sem mineração, isto é,
, onde é o evento “não há mercúrio na amostra”.
Passo 2
Definir os eventos e escrevê-los de forma clara:
-
: amostra veio da região sem mineração. -
: amostra veio da região com mineração. -
: amostra contém mercúrio. -
: amostra não contém mercúrio (o complementar de ).
Já sabemos
,
,
e
.
Passo 3
Calcular as probabilidades condicionais de não haver mercúrio em cada região (estas são necessárias para aplicar Bayes):
- Em
: .) - Em
: .)
Explanação rápida: se a chance de ter mercúrio é
, a chance de não ter é
. Aqui aplicamos isso para cada tipo de região.
Passo 4
Apresentar a fórmula de Bayes apropriada para o problema e explicar cada termo:
A fórmula de Bayes para obter é
A fórmula de Bayes para obter
Aqui:
-
é a probabilidade de não haver mercúrio dado que a amostra veio de . -
é a probabilidade a priori de a amostra vir de . -
é a probabilidade total de não haver mercúrio em uma amostra qualquer; ela é obtida pelo teorema da probabilidade total:
Raciocínio intuitivo: para saber a origem dado que não há mercúrio, pesamos quanto cada região contribui para o evento “não há mercúrio” levando em conta tanto a frequência das regiões quanto a chance de ausência de mercúrio em cada uma.
Passo 5
Calcular
usando os números que já temos:
Fazendo as contas:
Portanto
Passo 6
Calcular
aplicando Bayes:
Simplificando a fração:
Passo 7
Interpretação final e número em porcentagem:
- Em forma decimal arredondada:
(aprox.). - Em porcentagem:
(aprox.).
Isso significa que, se uma amostra não apresenta mercúrio, há uma alta probabilidade (cerca de
) de ela ter vindo da região sem mineração — intuitivamente porque a maioria das amostras vem de regiões sem mineração e nelas a ausência de mercúrio é muito comum.