Sabe-se que um líquido particular contem certas bactérias a razão de 4 bactérias por cm 3 . Uma amostra de 1 c m 3 desse líquido é tomado.
Qual é a probabilidade de que a amostra contenha pelo menos duas bactérias?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Taxa média de bactérias no líquido: 4 bactérias por 1\\ \text{cm}^3.
  • Volume da amostra retirada: 1\\ \text{cm}^3.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que essa amostra contenha pelo menos duas bactérias? Ou seja, queremos P(\text{amostra tem pelo menos 2 bactérias})é.

Passo 2

Escolher o modelo probabilístico e explicar por que ele se aplica (aula rápida).
  • Quando temos contagem de eventos independentes ocorrendo numa região fixa (aqui: bactérias numa unidade de volume) com taxa média conhecida, o modelo padrão é a distribuição de Poisson.
  • A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos numa unidade (ou numa janela) quando a média esperada é \lambda.
  • A fórmula da Poisson é
P(X=k)=e^{-\lambda}\,\frac{\lambda^{k}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória: número de bactérias na amostra,
  • \lambda é a média esperada (número médio de bactérias na amostra),
  • k é um número inteiro não-negativo ( k=0,1,2,\dots),
  • k! é o fatorial de k.
  • Regras intuitivas: eventos (bactérias) são contagens discretas, independentes em pequenas regiões, e a taxa média por unidade de volume é constante — por isso Poisson é apropriado aqui.

Passo 3

Determinar o parâmetro \lambda para a amostra.
  • A taxa dada é 4 bactérias por 1\\ \text{cm}^3.
  • A amostra tem volume 1\\ \text{cm}^3.
  • Portanto a média esperada na amostra é
\lambda = 4 \times 1 = 4.
Logo usaremos a Poisson com \lambda=4.

Passo 4

Expressar a probabilidade pedida em termos de X e usar complemento para simplificar.
  • Queremos P(X\ge 2).
  • É mais simples usar o complemento:
P(X\ge 2)=1-P(X\le 1)=1-\big(P(X=0)+P(X=1)\big).
Isso evita somar uma infinidade de termos da Poisson; só precisamos de P(X=0) e P(X=1).

Passo 5

Calcular P(X=0) e P(X=1) usando a fórmula da Poisson com \lambda=4.
  • Para k=0:
P(X=0)=e^{-4}\,\frac{4^{0}}{0!}=e^{-4}\cdot 1 = e^{-4}.
  • Para k=1:
P(X=1)=e^{-4}\,\frac{4^{1}}{1!}=e^{-4}\cdot 4 = 4e^{-4}.
  • Somando:
P(X=0)+P(X=1)=e^{-4}+4e^{-4}=5e^{-4}.

Passo 6

Obter a expressão fechada e interpretar.
  • Usando o complemento:
P(X\ge 2)=1-5e^{-4}.
Esta é a resposta exata em termos de e.

Passo 7

Fazer aproximação numérica (útil para conferência).
  • Usando e\approx 2,71828, primeiro calculamos e^{4}\approx 54,59815, então
e^{-4}\approx 0,018315.
  • Multiplicando por 5:
5e^{-4}\approx 5\times 0,018315\approx 0,091575.
  • Finalmente
P(X\ge 2)\approx 1-0,091575=0,908425\approx 0,9084.
Ou seja, cerca de 90{,}84\%. Força aí — você já tem a expressão exata e a aproximação pra usar na prova.

Resposta

1-5e^{-4}
\approx 0,9084

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