Sabe-se que um líquido particular contem certas bactérias a razão de 4 bactérias por cm 3 . Uma amostra de
desse líquido é tomado.
Qual é a probabilidade de que a amostra contenha pelo menos duas bactérias?
Qual é a probabilidade de que a amostra contenha pelo menos duas bactérias?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Taxa média de bactérias no líquido:
bactérias por . - Volume da amostra retirada:
. - Pergunta: qual é a probabilidade de que essa amostra contenha pelo menos duas bactérias? Ou seja, queremos
.
Passo 2
Escolher o modelo probabilístico e explicar por que ele se aplica (aula rápida).
- Quando temos contagem de eventos independentes ocorrendo numa região fixa (aqui: bactérias numa unidade de volume) com taxa média conhecida, o modelo padrão é a distribuição de Poisson.
- A distribuição de Poisson descreve a probabilidade de ocorrer exatamente
eventos numa unidade (ou numa janela) quando a média esperada é . - A fórmula da Poisson é
onde:
-
é a variável aleatória: número de bactérias na amostra, -
é a média esperada (número médio de bactérias na amostra), -
é um número inteiro não-negativo ( ), -
é o fatorial de . - Regras intuitivas: eventos (bactérias) são contagens discretas, independentes em pequenas regiões, e a taxa média por unidade de volume é constante — por isso Poisson é apropriado aqui.
Passo 3
Determinar o parâmetro
para a amostra.
- A taxa dada é
bactérias por . - A amostra tem volume
. - Portanto a média esperada na amostra é
Logo usaremos a Poisson com
.
Passo 4
Expressar a probabilidade pedida em termos de
e usar complemento para simplificar.
- Queremos
. - É mais simples usar o complemento:
Isso evita somar uma infinidade de termos da Poisson; só precisamos de
e
.
Passo 5
Calcular
e
usando a fórmula da Poisson com
.
- Para
:
- Para
:
- Somando:
Passo 6
Obter a expressão fechada e interpretar.
- Usando o complemento:
Esta é a resposta exata em termos de
.
Passo 7
Fazer aproximação numérica (útil para conferência).
- Usando
, primeiro calculamos , então
- Multiplicando por
:
- Finalmente
Ou seja, cerca de
. Força aí — você já tem a expressão exata e a aproximação pra usar na prova.